Question

$9^m-7^m=2^n$ denkleminin pozitif tam sayı çözümlerini bulunuz.

Comments

Denklemi $(1,1)$  ve $(2,5)$ ikililerinin sağladığı görülebiliyor. Farkın hangi $(m,n)$ pozitif  tam sayıları için $2$ nin gücü olarak yazılıp yazılamadığını anlamak için $$9^m-7^m=(9-7)(9^{m-1}+9^{m-2}.7+...+9.7^{m-2}+7^{m-1})=2.(9^{m-1}+9^{m-2}.7+...+9.7^{m-2}+7^{m-1})$$ özdeşliğini kullandım. Eğer $m$ tek sayı ise ikinci çarpan tek sayı ve dolayısıyla fark $2$ sayısının gücü olamayacağından tek sayılarda $m=1$ dışında çözümü olmadığını gördüm. $m$ çift sayı iken ikinci çarpan da çift sayı. Bu çarpanın $2$ nin gücü olamayacağını gösterebilirsem $(1,1)$  ve $(2,5)$ ve ikililerinden başka çözüm olmayacağını söyleyebileceğim.

Answer 1

Bu bilgi çözüm için epey yardımcı olacağından sadece bunu verip kalanını tamamlamayacağım:
$a=-15$ olsun. $n\ge 6$ ve $m := 2k$ çift ise $$81^k-49^k\equiv (32+a)^k-a^k\equiv 32a^{k-1}\equiv 0 \mod 64$$ olmalı ki olamaz.