Question

$\sqrt{100+\sqrt n}+\sqrt{100-\sqrt n}$ i tamsayı yapan en küçük  $n$ pozitif tamsayısını bulunuz.

(2018 Harvard- MIT Matematik yarışmasında sorulmuş ama Orta Öğretim düzeyinde bir soru)

Comments

UYARI: Soruda, $\sqrt{100+\sqrt n}$ ve $\sqrt{100-\sqrt n}$ nin ayrı ayrı tamsayı yapılması değil, toplamının tamsayı yapılması isteniyor.

Answer 1

İfadeye $x$ ismini verir ve kare alırsak $$200+2\sqrt{10^4-n}=x^2$$ şeklini alır. $0\lt n\lt 10^4$ olduğundan $20\gt x\gt \sqrt {200}$ olmalıdır. Yani $x$ in uygun en büyük değeri $n$ nin en küçük değerine karşılık gelir ve kareli eşitlikten ötürü $x$ sayısı çift olmalıdır. $x=18$ seçilirse $n_{min} =6156$ bulunur.