1. Cebirsel çözüm:
Denklemi düzenlersek,
$|z|^n=\left|{1-iz}\right|^n$ elde ederiz.
$|z|,|1-iz|\geq0$ olduğundan, $|z|=|1-iz|$ olmalıdır. $z=a+i\,b\ (a,b\in\mathbb{R})$ şeklinde yazalım.
Her iki tarafın karesi alınırsa
$a^2+b^2=(1+b)^2+a^2$ ve bu sadeleştirmelerden sonra, $b=-\frac12$ bulunur.
2. Kısa Geometrik çözüm:
(Önceki gibi) $|z|=|1-iz|$ elde ettikden sonra:
$|z|=|1-iz|=|i|\,|1-iz|=|z+i|$ olur. Bu da, $z$ nin $0$ ve $-i$ den eşit uzaklıkta olmasına eşdeğerdir.
(Düzlemde) bu iki noktaya eşit uzaklıktaki noktalar (karmaşık sayılar) iki noktayı birleştiren doğru parçasınn orta dikmesi üzerinde bulunurlar, Bu doğru da, $\textrm{Im}\,z=-\frac12$ doğrusudur.
3. Biraz daha uzun geometrik çözüm:
Denklemden, $\left|\frac z{1-iz}\right|^n=1$ olduğunu görüyoruz. Buradan, $\left|\frac z{1-iz}\right|=1$ olduğu, yani, $\frac z{1-iz}$ nin birim çember üzerinde olduğu görülüyor.
$w=Tz=\frac z{1-iz}$ Mobius (Kesirli Lineer) dönüşümünün tersi $T^{-1}(z)=\frac z{1+iz}$ (Mobius) dönüşümüdür.
("Sonsuz" da hesaba katıldığında) Mobius dönüşümleri (düzlemdeki) çemberleri (ve doğruları) çember veya doğruya dönüştürür.
$T^{-1}$, birim çember üzerindeki, $i$ noktasını "sonsuz"a gönderdiği için, birim çemberi bir doğruya dönüşütürür. $T^{-1}(-i)=-\frac12i$ ve $T^{-1}(1)=\frac12(1-i)$ olduğundan, $T^{-1}$, birim çemberi, $\textrm{Im}\,z=-\frac12$ doğrusuna dönüştürür. Bu da, $T$ nin $\textrm{Im}\,z=-\frac12$ doğrusunu birim çembere dönüştürmesine eşdeğerdir.
Sonuç olarak, $\left|\frac z{1-iz}\right|=1$ eşitliğini sağlayan her karmaşık sayı için $\textrm{Im}\,z=-\frac12$ olur.