$f(x^5)=5f(x)$ eşitliğini sağlayan fonksiyonlar

Question

$c\cdot \ln x$ fonksiyonlarını genişleterek bir fonksiyon ailesi bulabiliriz. Başka neler olabilir?

Comments

Ana denklemden $f(0)=0$ geliyor, fakat $f(x)=c \ln x$ fonksiyonu $x=0$ noktasında tanımsızdır. $x\neq 0$ iken $f(x) = c \ln |x|$ ve $x=0$ iken $f(0)=0$ olan parçalı fonksiyonlar ailesi bir çözümdür, dersek daha iyi olacak. Bundan başka, "Cauchy fonksiyonel denkleminin süreksiz çözümleri" gibi süreksiz çözümlere sahip olabilir belki.

---

"$c\ln x$ fonksiyonlarını genişleterek" kısmı tam olarak dediğin fonksiyonlara ve pozitif-negatif kısımda farklı $c_1, c_2$ için olacak şekide referans ediyor. Pozitif ve negatif kısım bağlantılı değil.

---

Bu tür problemler ile ilgili yapılmış bazı çalışmalardan bahsedeceğim. Sorulan probleme yakın türde bir soruya yanıt olacaktır. (Eğer yeterli görülürse, yorumdan cevaba taşıyabilirim.)

Her $x,y$ gerçel sayısı için 

$$f(x+y) = f(x) + f(y) \qquad \dots (1)$$

denklemine temel Cauchy fonksiyonel denklemi denir.  Bu denklemin $f(x) = cx$ biçimindeki çözümlerden başka çözümlerinin olup olmadığı uzun süre merak edilmiştir. Eğef $f$ fonksiyonuna süreklilik şartı eklenirse tüm çözümlerin $f(x)=cx$ olduğu gösterilmiştir. Darboux, $(1)$ denklemini sağlayan bir fonksiyonun belli bir $x_0$ noktasında sürekli olduğu bilgisi verilirse, o fonksiyonun tüm gerçel sayılarda sürekli olacağını kanıtlamıştır. Yine $f$'nin bir aralıkta sınırlı olduğu bilgisi verilirse veya $f$'nin tanım kümesi pozitif (veya negatif olmayan) gerçel sayılar verilirse bu tür durumlarda da $(1)$ denkleminin çözümlerinin $f(x)=cx$ olduğu gösterilmiştir. Nihayet, 1905'te G. Hamel'in çalışmalarıyla $(1)$ denkleminin $f(x)=cx$ formunda olmayan çözümlerinin olduğu kanıtlanmıştır. Dolayısıyla bu çözümler hiçbir noktada sürekli değildir.

 

Cauchy'nin diğer denklemleri her $x,y$ gerçel sayısı için sağlanan

$$f(x+y) = f(x)f(y) \qquad \dots (2)$$

$$f(xy) = f(x) + f(y) \qquad \dots (3)$$

$$f(xy) = f(x)f(y) \qquad \dots (4)$$

denklemleridir. Ana problemle ilgili olması bakımından bunlardan $(3)$ denklemi ile ilgilenelim.

 

$(3)$ denkleminde tanım kümesi pozitif gerçel sayılar olarak verilmiş olsun. Yani $x, y >0$ olsun. $x=e^u$, $y=e^r$ değişken değiştirmesi yapılırsa $f(e^{u+r}) = f(e^u) + f(e^r)$  elde edilir. Burada $f(e^u) = g(u)$ değişken değiştirmesi yapılırsa denklem $g(u+r) = g(u) + g(r)$ temel Cauchy fonksiyonel denklemine indirgenmiş olur. Bu denklemin $g(u)=cu$ biçiminde sürekli çözümleri olduğu gibi G.Hamel'in çalışmalarından dolayı hiçbir yerde sürekli olmayan $g_0(u)$ çözümleri olduğunu da biliyoruz. Böylece $(3)$ ün pozitif $x,y$ gerçel sayıları için tüm çözümleri

$$f(x) = c\ln(x) , f(x) = g_0(\ln(x))$$

biçiminde olur diye düşünüyorum. Öte taraftan j. Aczel'in (1966) Lectures on Functional Equations and Their Applications isimli kitabında (sayfa 39) $f(x) = g_0(\ln(x))$ türü çözümlerin oluştuğundan hiç bahsedilmeden pozitif $x,y$ değerleri şartı altında en genel çözümlerin $f(x) = c\ln(x)$ türünde çözümler olduğunu ifade etmiş. Belki pozitif tanımlılık şartı altında temel Cauchy fonksiyonel denkleminin çözümlerinin doğrusal fonksiyonlar olduğu bilgisiye böyle birşey ifade edilmiş olabilir diye düşündüm, ancak $g(u+r) = g(u) + g(r)$ denkleminde $u,v$ değişkenlerinde pozitif olma koşulu yoktur. Bu sebeple süreksiz çözümler de olmalıdır dedim. Hata yapıyor olabilirim, henüz göremedim.

 

Şimdi $(3)$ denkleminde $y=x$ koyarak $f(x^2) = 2f(x)$ elde ederiz ve bu şekilde devam ederek $(3)$ denkleminden $f(x^5) = 5f(x)$ fonksiyonel denklemini türetebiliriz. Ana problemdeki denklemin pozitif gerçel sayılardaki çözümleri, $f(x) = c\ln(x)$ ve $f(x) = g_0(\ln(x))$ çözüm ailelerinin bir alt kümesi olabilir. Kontrol edersek bu iki çözüm ailesi de ana denklemi sağlar. Böylece pozitif tanımlılık şartı altında $f(x^5)=5f(x)$  ana denkleminin $f(x) = c\ln(x)$ dışında (süreksiz olan) çözümleri olduğunu da anlamış oluyoruz.

 

Not: Ana soruda tanım kümesi gerçel sayılar olduğu için ilk yorumlarda bahsettiğimiz biçimde çözümler vardır. Tanım kümesini kısıtlamazsak burada hiç değinmediğimiz türde çözümler de olabilir belki.

Answer 1

$f(1)=0$ olması gerektiği apaçık. Logartimalar dışında pek çok böyle fonksiyon vardır. Bunların hepsini bulabiliriz.

$g:(2,32]\to\mathbb{R}$ herhangi bir fonksiyon olsun.

($x>1$ için $(x^{1\over5^n})$ dizisinin kesin azalan ve limitinin $1$ oluşunu kullanarak)

$\forall x\in(1,+\infty)$ için $\sqrt[5^n]x=x^{1\over5^n}\in(2,32]$ olacak şekilde tek (biricik) bir ${n\in \mathbb{Z}}$ vardır.

$f:[1,+\infty)\to\mathbb{R},\ f(1)=0,\ f(x)=5^{n}g(x^{1\over5^n})$     $\left(x^{1\over 5 ^n}\in(2,32]\right)$

olarak tanımlayalım. $(2,32]$ aralığında $f(x)=g(x)$ dir.

Bu fonksiyon istenen özelliğe sahiptir, ve $[1,+\infty)$ aralığındaki, bu özelliğe sahip, tüm fonksiyonlar bu şekilde oluşturulabilir, çünki $f$ nin $(2,32]$ aralığındaki değerleri, tüm 1 den büyük sayılardaki değerlerini belirler.

(Benzer şekilde $f$ yi (örneğin $({1\over32},{1\over2}]$ aralığında herhangi bir $h$ fonksiyonu kullanarak) $(0,1)$ aralığına da genişletebiliriz)

Eğer, $g,\ (2,32]$ aralığında sürekli ve $\lim_{x\to2^+}g(x)=\frac15g(32)$ ise $f,\ [1,+\infty)$ aralığında sürekli olacaktır.  

$f$ nin türevlenebilir olması için de ($g$ için) bir koşul bulunabilir.

İstenirse, $(-\infty,0]$ aralığında da ($f(0)=0$ olarak  tanımlamak zorundayız) kolayca, benzer şekilde tanımlanabilir.

Comments

Şu soruya benziyor.