ABC üçgeninin diklik merkezi E olsun

Question

$ABC$ üçgeninin diklik merkezi iç bölgesindeki bir $E$ noktası ve $A$ köşesinden inilen yuksekliğin ayaği $F$ ve $AE$ doğru parçasına ait bir nokta $D$ olsun.$[ABC]=18,[BEC]=8$ ve $[BDC]=12$ birim kare olsun. Buna göre $BDC$ açısını bulunuz?

$[    ]$alanı belirtmektedir.

Comments

Bir sorudaki sorulani veri, veriyi soru yapayim dedim fakat bu haliyle bir çözüme ulaşamadım.

---

Çözüm gönderdim Alper hocam, onay bekleniyor uyarısı veriyor.

Answer 1

Problemde önemli bir aşama olmamakla beraber, verilen alan bilgilerine göre $D$ noktasının $[AE]$ üzerinde olduğunu söyleyebiliriz. Çizimi daha doğru yapmış oluyoruz.

 

Şimdi $E$ noktası diklik merkezi iken $|AF|\cdot |EF| = |BF| \cdot |CF|$ eşitliği vardır. Bunu kanıtlamak için $AF$ doğrusunun $ABC$ üçgeninin çevrel çemberini ($A$ dan farklı olarak) kestiği noktaya $G$ diyelim. $BECG$ bir deltoid olacaktır. $|EF| = |FG|$ olduğu görüldükten sonra $F$ noktasının çembere göre kuvvetini yazmak yeterlidir.

$$|AF|\cdot |EF| = |BF| \cdot |CF| \dots (*)$$ eşitliğine ulaşılır.

 

Şimdi de alanlar arasındaki $18\cdot 8 = 12^2$ bağıntısının sağlandığını gözlemleyelim. Buna göre

 

$$Alan(ABC)\cdot Alan(EBC) = Alan(DBC)^2 \dots (**)$$

 

olur. $Alan(ABC)\cdot Alan(EBC) = \dfrac{|AF|\cdot |BC|}{2} \cdot \dfrac{|EF|\cdot |BC|}{2}$ dir. Ayrıca $Alan(DBC)^2 = \dfrac{|DF|^2\cdot |BC|^2}{4}$ olur. Bu eşitlikleri ve $(*)$ eşitliğini $(**)$ eşitliğinde yazarsak

 

$$|DF|^2 = |BF|\cdot |FC|$$

 

elde edilir. Bu son eşitlik bize, Öklid'in yükseklik bağıntısından dolayı $m(\widehat{BDC})=90^\circ$ olduğunu verir.