Free abelyen zincir kompleks(abelian chain complex) ve tam zincir kompex(exact chain complex) arasındaki her zincir fonksiyonu, $0$ fonksiyonuna homotopiktir.

Question

Tanımlar (Elimden geldiğince terimleri türkçe yazmaya çalışırım ama durumun anlaşılmasını zorlaştırmamak için ingilizcelerini yazmak zorundayım):

Chain Kompleks: 

$$\cdots\xrightarrow{d_{n+2}} C_{n+1}\xrightarrow{d_{n+1}} C_n\xrightarrow{d_{n}} C_{n-1}\xrightarrow{d_{n-1}}\cdots$$

$C_n$: Abelyen grup.
$d_n:C_n\to C_{n-1}$: grup homomorfizmaları

Öyleki $$d_{n}\circ d_{n+1}:C_{n+1}\to C_{n-1}\\ d_{n}\circ d_{n+1}=0$$

Kısaca chain kompleks $$C_{*}=\left\{C_n, d_n:C_n\to C_{n-1}\right\}_{n\in\mathbb Z}$$ $C_n$ diye adlandırılan abelyen gruplardan ve bunlar arasındaki homomorfizmalardan tanımlanıyor öyle ki $d_{n}\circ d_{n+1}=0$.  Chain Kompleksi $C_{*}$ ile gösterelim.

Tam (Exact) Chain:

 

$$\cdots\xrightarrow{d_{n+2}} C_{n+1}\xrightarrow{d_{n+1}} C_n\xrightarrow{d_{n}} C_{n-1}\xrightarrow{d_{n-1}}\cdots$$

$C_{*}=\left\{C_n, d_n:C_n\to C_{n-1}\right\}_{n\in\mathbb Z}$ chain kompleks olsun. Bu chain exacttir ancak ve ancak $ker(d_n)=Im(d_{n+1})$ olursa. (Homology bilenler için)Yani tüm homology grupları 0 olursa $\left(\dfrac{ker(d_n)}{Im(d_{n+1})}=H_n(C)=0\right)$.



Chain Kompleksler arasındaki morfizma:

$C_{*}$ ve $D_{*}$ abelyen grupları ve aralarındaki $d_n^C:C_n\to C_{n-1}$ ve $d_n^D:D_n\to D_{n-1}$ grup homomorfizmaları ile verilsin.

$$f:C_{*}\to D_{*}$$ chain morfizması olsun.

$\require{AMScd}$

$$\begin{CD} \cdots @>d^C_{n+2}>>C_{n+1} @>d^C_{n+1}>> C_n @>d^C_n>> C_{n-1} @>d^C_{n-1}>> C_{n-2} \cdots \\ \cdots@V f_{n+1} VV \circlearrowleft  @VV f_n V \circlearrowleft @VV f_{n-1} V \circlearrowleft@VV \cdots V \\ \cdots @>d^D_{n+2}>>D_{n+1} @>d^D_{n+1}>> D_n @>d^D_n>> D_{n-1} @>d^D_{n-1}>> D_{n-2} \cdots \end{CD}$$

Öyle ki her kare "commutes" yani her iki yoldan gelinen fonksiyon eşittir, yani $$d_n^D\circ f_n=f_{n-1}\circ d_n^C$$

Chain Homotopi:

$C_{*}$ ve $D_{*}$ chain kompleks olsun ve  $$f,g:C_{*}\to D_{*}$$

Chain morfizmaları olsun. $f\simeq g$ yani $f$, $g$'ye homotopik denir ancak ve ancak her $n$ için $h_n: C_n\to D_{n+1}$ grup homomorfizması var ki $$g_n-f_n=d_{n+1}^D\circ h_n + h_{n-1}\circ d_n^C$$ sağlansın.

$\require{AMScd}$

$$\begin{CD} \cdots @>d^C_{n+2}>>C_{n+1} @>d^C_{n+1}>> C_n @>d^C_n>> C_{n-1} @>d^C_{n-1}>> C_{n-2} \cdots \\ \cdots@V f_{n+1} V g_{n+1}V \swarrow_{h_{n}}  @V f_n V g_n V \swarrow_{h_{n-1}} @V f_{n-1} V g_{n-1 }V\swarrow_{h_{n-2}}@VV \cdots V \\ \cdots @>d^D_{n+2}>>D_{n+1} @>d^D_{n+1}>> D_n @>d^D_n>> D_{n-1} @>d^D_{n-1}>> D_{n-2} \cdots \end{CD}$$

Sorum:

$C_{*}$ ve $D_{*}$ chain kompleks olsun.

$C_{*}$ 'nin grupları $C_n$'ler free abelyen gruplar olsun ve $D_{*}$ exact(tam) chain kompleks olsun (yani $H_n(D)=0,\quad \forall n\in\mathbb Z$)

Gösteriniz: Verilen her chain morfizması $f:C_{*}\to D_{*}$, $0$ morfizmasına homotopik olur.

$\require{AMScd}$

$$\begin{CD} \cdots @>d^C_{n+2}>>C_{n+1} @>d^C_{n+1}>> C_n @>d^C_n>> C_{n-1} @>d^C_{n-1}>> C_{n-2} \cdots \\ \cdots@V f_{n+1} V 0V \swarrow_{h_{n}}  @V f_n V 0 V \swarrow_{h_{n-1}} @V f_{n-1} V 0V\swarrow_{h_{n-2}}@VV \cdots V \\ \cdots @>d^D_{n+2}>>D_{n+1} @>d^D_{n+1}>> D_n @>d^D_n>> D_{n-1} @>d^D_{n-1}>> D_{n-2} \cdots \end{CD}$$

Öyle grup homomorfizmaları $h_n: C_n\to D_{n+1}$ bulmalıyım ki $f_n=d_{n+1}^D\circ h_n + h_{n-1}\circ d_n^C$ sağlansın. Yani $h_n$'ler $f_n$ lere bağlı olmak zorunda ve indüksiyonel bir şekilde ilerlemem gibi hissediyorum yalnız $h_n$'leri inşaa etmek için diagramdaki okların yönü zorluk çıkarıyor dolayısıyla $C_{*}$ veya $D_{*}$ 'deki grup morfizmalarının bir şekilde invertible oldugunu söylemem gerekiyor. $C_{*}$ free abelyen oldugu için atomik chainlere ayrıldıgını bılıyorum ama bana bir kolaylık saglamıyor.

Comments

Anıl, zincir kompleksi tanımında, $n\geq0$  olmasın?

---

hocam bizim hocamız böyle tanımlamış.

---

Evet, tüm tam sayılar ile indeksleyebilirsin. Iki tarafa da gidebilir soyut olarak kompleksler.

Yalnız bir şeye dikkat çekmek istiyorum. "Tümevarımsal olarak ilerlemeliyim" demişsin. Bunun için bir yerden başlamak lazım, değil mi? Base case. Bunu yapabilmek için belki ilk önce C'nin bir süre sonra sıfır olduğunu kabul edip başlasan, ya da genelliği bozmadan $n<0$ için $C_n = 0$ olduğunu kabul etsen? Bu kabulle ve senin tümevarım fikrinle başlasan?

---

Kompleks tanımında $n\in\mathbb{Z}$ olabilir.

Ama bu iddiadaki kompleksler için $n\geq0$ (veya "$C_n=0, \ \forall n<0$ için" benzeri) bir kısıtlama gerekiyor sanırım.

---

Ben de genel durum için bir kanıt bilmiyorum, doğru olup olmadığına da emin değilim. Ama @Anıl tümevarımsal olarak ilerlemek istiyorsan böyle bir kısıtlama yapmak zorundasın. Bu kısıtlamayı yaparak başla.

---

Aslında demek istedigim, soruda verilen şartlarla 1. chain free abelyen ve 2. chain exactse böyle bir indirgenme olur mu?

---

Benim tek bildiğim: eğer $C$ sonlu gerilmiş serbest abelyen gruplardan oluşan bir exact kompleks ise, split exact olması gerektiği. Belki bu yeterlidir. Ama sonuçta yine bir kısıtlama koyduk. $C$'nin exact olması koşulu alttan sınırlı olmasından daha büyük bir kısıtlama sanki. 

---

"Aslında demek istedigim, soruda verilen şartlarla 1. chain free abelyen ve 2. chain exactse böyle bir indirgenme olur mu?"

Sanmıyorum. "Comparison Theorem" terimini ararsan tüm ifadelerinde $n\geq0$ koşulu var.

Bir tane $h_n$ bilinse bile, daha küçük indisler için $h_k$ oluşturmak için serbest olma özelliği işe yaramaz, ama daha büyük indisler için (diğer kompleksin tam dizi olmasını da kullanarak) $h_k$ (tümevarımla) oluşturmakta serbest olmak işe yarıyor.