x+y+z nin en küçük değeri kaçtır?

Question

x, y, z    pozitif tam sayı,

x.y=3.m  y.z=4.m

x+y+z nin alabileceği en büyük değer 57 ise x+y+z nin alabileceği en küçük değer nedir?

3mz=4mx  --> 3z=4x olur Yani z=4k ise x=3k demektir.

Ancak alabileceği değer sorusuna bunu nasıl uyarlayacağımı bulamadım...

Comments

33 mü? Cevap lazım ilk

---

Soru rutin değil, nerede gördüğünü paylaşabilir misin?

Answer 1

Güzel (ve basit olmayan) bir soru.

Soruda, $x+y+z$ nin maksimum değerini $57$ yapan $m$ sayısı için $x+y+z$ nin minimum değeri soruluyor.
    ($xy=3m,\ yz=4m$ den $m$ nin de ($m=yz-xy$ oluşundan) bir (pozitif) tamsayı olduğu görülüyor.)
Bu eşitliklerden, $y\mid m$ (ve bunun $x$ ve $z$ yi tamsayı yapmaya yeterli) olduğunu da görüyoruz.
    Önce $m$ yi bulacağız.
    $x={3m\over y},\ z={4m\over y}$ den, $x+y+z={7m\over y}+y$ olur.
    En az bir $y$ için ${7m\over y}+y=57$ olduğunu biliyoruz.
    $y=1$ iken (ve $y\mid m$  oluyor) $m=8$ bulunuyor.
     Ama, önce, başka böyle $m$ olup olmadığını (ve $m=8$ için maksimum değerin $57$ olup olmadığını) kontrol etmeliyiz.
     $m>8$ (tamsayı) için $y=1,x=3m,z=4m$ istenen koşulları sağlar ve $x+y+z=1+7m>57$ olur, maksimum $57$ olmazdı.
 $m<8$ (tamsayı) değerleri için   $xy\leq21,\ yz\leq28$ den  $x+y\leq22$ ve $y+z\leq 29$, bunlardan da $x+y+z<x+2y+z\leq 51$ olur yine maksimum değer $57$ olmazdı.

Bunlar, bize, $m\neq8$ ise $x+y+z$ nin maksimum değerinin $57$ olamayacağını gösterdi.
$m=8$ iken ($y\mid m$ idi) $y=1$, $y=2$ , $y=4$ veya $y=8$ olması gerekiyor.

$y=1$ için $x+y+z=57$,

$y=2$ için $x+y+z=30$

$y=4$ için $x+y+z=18$

$y=8$ için  $x+y+z=15$ olur.

Dolayısıyla, (sadece) $m=8$ için $x+y+z$ nin maksimum değeri $57$ olur ve bu durumda $x+y+z$ nin  minimum değeri $15$ dir.

Comments

İlk çözümümde çok fazla gereksiz şeyler vardı.

3-4 düzeltmeden sonra, sanırım en basit (ama eksiksiz) şeklini yazabildim.

---

Teşekkürler. Aslında soru kolay gibi duruyor ancak ne kadar uğraştıysam da çözememiştim. Cevap verip merakımı giderdiğiniz için de ayrıca teşekkür ederim.