Question

Uzun ve karmaşık cebirsel işlemler yapabilen bir uygulamaya ihtiyacım var. İşlemleri elle yapmaya çalışığımda hem çok uzun, hem hata olasılığı yüksek hem de bir yerden sonra işlemler içinden çıkılmaz bir hal alıyor. Örneğin bir 2x2 lik bir matrisin determinantını hesaplayacağım ve girdilerinde 2-değişkenli bir fonksiyonun çeşitli kısmi türevlerinin çarpımları, toplamları vs. var. Aslında elimde bir yüzey ve yüzeyin I. ve II. temel formunun katsayıları $f=f(u,v)$  fonksiyonunun kısmi türevlerine bağlı olarak var. Amacım yüzeyin Gauss ve ortalama eğriliklerini      $$K=\dfrac{det II}{det I}$$   ve    $$H=\dfrac{EN-2FM+GL}{2(EG-F^2)}$$  eşitliklerini kullanarak hesaplamak. Örneğin $E=f_{uu}^2(1+u^2)+2uvf_{uv}f_{uu}+f_{uv}^2(1+v^2)$    şeklinde. $F$ katsayısı daha da karmaşık. Wolframı denedim fakat bir yerden sonra pes ediyor. Beni yönlendirebileceğiniz bir uygulama ya da başka bir çözüm varsa çok sevinirim.

Comments

Fonksiyonu ve diger tanimlari acik sekilde yazarsaniz ben Mathematica ile bir deneyeyim..

---

Teşekkürler Ökkeş hocam.

 $E=f_{uu}^2(1+u^2)+2uvf_{uv}f_{uu}+f_{uv}^2(1+v^2)$  

$G=f_{vv}^2(1+v^2)+2uvf_{uv}f_{vv}+f_{uv}^2(1+u^2)$

$F=f_{uv}[f_{uu}(1+u^2)+f_{vv}(1+v^2)]+uv(f_{uu}f_{vv}+f_{uv}^2)$

$L=\dfrac{f_{uu}}{\sqrt{u^2+v^2+1}}$

$N=\dfrac{f_{vv}}{\sqrt{u^2+v^2+1}}$

$M=\dfrac{f_{uv}}{\sqrt{u^2+v^2+1}}$

Bu veriler kullanılarak aşağıdaki değerleri hesaplanacak.

  $$K=\dfrac{det II}{det I}=\dfrac{LN-M^2}{EG-F^2}$$   ve    $$H=\dfrac{EN-2FM+GL}{2(EG-F^2)}$$

---

https://docs.sympy.org/latest/modules/diffgeom.html

 

belki isiniyi gorebilir

---

tam anlamamış olabilirim ancak fonksiyonları değişken olarak bu denklemlerin sonucunu verdirebileceginiz desmos.com sitesi mevcut sanırım, tabi direkt fonksiyonun ne olacagını degil ama noktayı girerseniz verdiginiz tüm denklemlerin sonucunu veriyor, ben 2,3 degişkenli fonksiyonlarda denedim çalışıyor.

---

Teşekkürler Anıl. Fakat bana fonksiyon olarak sonuçlar lazım.

---

Teşekkürler eloı.

Answer 1

 

ClearAll["Global`*"]

Ε = 
  D[f[u, v], {u, 2}]^2 (1 + u^2) + 
   2 u v D[f[u, v], u, v] D[f[u, v], {u, 2}] + 
   D[f[u, v], u, v]^2 (1 + v^2);

G = D[f[u, v], {v, 2}]^2 (1 + v^2) + 
   2 u v D[f[u, v], u, v] D[f[u, v], {v, 2}] + 
   D[f[u, v], u, v]^2 (1 + u^2);

F = D[f[u, v], u, 
    v] (D[f[u, v], {u, 2}] (1 + u^2) + D[f[u, v], {v, 2}] (1 + v^2)) + 
     u v (D[f[u, v], {u, 2}] D[f[u, v], {v, 2}] + D[f[u, v], u, v]^2);

L = D[f[u, v], {u, 2}]/Sqrt[u^2 + v^2 + 1];

Ν = D[f[u, v], {v, 2}]/Sqrt[u^2 + v^2 + 1];

M = D[f[u, v], u, v]/Sqrt[u^2 + v^2 + 1];

Κ = (L Ν - M^2)/(Ε G - F^2) //Simplify // FullSimplify

H = (Ε Ν - 2 F M + G L)/( 2 (Ε G - F^2)) // Simplify // FullSimplify

 

 

$K=\dfrac{1}{\left(u^2+v^2+1\right)^2 \left(f^{(0,2)}(u,v) f^{(2,0)}(u,v)-f^{(1,1)}(u,v)^2\right)}$

 

$H=\dfrac{-\left(u^2+1\right) f^{(2,0)}(u,v)-\left(v^2+1\right) f^{(0,2)}(u,v)-2 u v f^{(1,1)}(u,v)}{2    \left(u^2+v^2+1\right)^{3/2} \left(f^{(1,1)}(u,v)^2-f^{(0,2)}(u,v) f^{(2,0)}(u,v)\right)}$

 

Veya daha anlasilir haliyle

 

 

ClearAll["Global`*"]
Ε = (\!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(u, u\)]\(f[u, v]\)\))^2 (1 + u^2) + 
   2 u v \!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(u, v\)]\(f[u, v]\)\) \!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(u, u\)]\(f[u, v]\)\) + (\!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(u, v\)]\(f[u, v]\)\))^2 (1 + v^2);
G = (\!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(v, v\)]\(f[u, v]\)\))^2 (1 + v^2) + 
   2 u v \!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(u, v\)]\(f[u, v]\)\) \!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(v, v\)]\(f[u, v]\)\) + (\!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(u, v\)]\(f[u, v]\)\))^2 (1 + u^2);
F = \!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(u, v\)]\(f[u, v]\)\) (\!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(u, u\)]\(f[u, v]\)\) (1 + u^2) + \!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(v, v\)]\(f[u, v]\)\) (1 + v^2)) + 
   u v (\!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(u, u\)]\(f[u, v]\)\) \!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(v, v\)]\(f[u, v]\)\) + (\!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(u, v\)]\(f[u, v]\)\))^2);
L = \!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(u, u\)]\(f[u, v]\)\)/Sqrt[
  u^2 + v^2 + 1];
Ν = \!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(v, v\)]\(f[u, v]\)\)/Sqrt[
  u^2 + v^2 + 1];
M = \!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(u, v\)]\(f[u, v]\)\)/Sqrt[
  u^2 + v^2 + 1];
Κ = (L Ν - M^2)/(Ε G - F^2) //
    Simplify // FullSimplify

H = (Ε Ν - 2 F M + G L)/(
   2 (Ε G - F^2)) // Simplify // FullSimplify

___________________________________________________

Yeni katsilar icin K ve H:

 

 

$K=\dfrac{1}{\left(u^2+v^2-1\right)^2 \left(f^{(1,1)}(u,v)^2-f^{(0,2)}(u,v) f^{(2,0)}(u,v)\right)}$

 

$H=\dfrac{-\left(u^2-1\right) f^{(2,0)}(u,v)-\left(v^2-1\right) f^{(0,2)}(u,v)-2 u v f^{(1,1)}(u,v)}{2    \left(u^2+v^2-1\right)^{3/2} \left(f^{(1,1)}(u,v)^2-f^{(0,2)}(u,v) f^{(2,0)}(u,v)\right)}$

 

Veya sizin gosterimle soyle olur sanirsam.(Kontrol edilse iyi olur..)

 

$K=-\dfrac{1}{\left(u^2+v^2-1\right)^2 \left(f_{uu} f_{vv}-f^2_{uv}\right)}$

 

$H=-\dfrac{\left(1-u^2\right) f_{uu}+\left(1-v^2\right) f_{vv}-2 u v f_{uv}}{2    \left(u^2+v^2-1\right)^{3/2} \left(f_{uu} f_{vv}-f^2_{uv}\right)}$

 

ClearAll["Global`*"]
Ε = (\!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(u, u\)]\(f[u, v]\)\))^2 (1 - u^2) - 
   2 u v \!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(u, v\)]\(f[u, v]\)\) \!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(u, u\)]\(f[u, v]\)\) + (\!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(u, v\)]\(f[u, v]\)\))^2 (1 - v^2);
G = (\!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(v, v\)]\(f[u, v]\)\))^2 (1 - v^2) - 
   2 u v \!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(u, v\)]\(f[u, v]\)\) \!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(v, v\)]\(f[u, v]\)\) + (\!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(u, v\)]\(f[u, v]\)\))^2 (1 - u^2);
F = \!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(u, v\)]\(f[u, v]\)\) (\!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(u, u\)]\(f[u, v]\)\) (1 - u^2) + \!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(v, v\)]\(f[u, v]\)\) (1 - v^2)) - 
   u v (\!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(u, u\)]\(f[u, v]\)\) \!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(v, v\)]\(f[u, v]\)\) + (\!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(u, v\)]\(f[u, v]\)\))^2);
L = \!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(u, u\)]\(f[u, v]\)\)/Sqrt[u^2 + v^2 - 1];
Ν = \!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(v, v\)]\(f[u, v]\)\)/Sqrt[u^2 + v^2 - 1];
M = \!\(
\*SubscriptBox[\(∂\), \(u, v\)]\(f[u, v]\)\)/Sqrt[u^2 + v^2 - 1];

Κ = (L Ν - M^2)/(Ε G - F^2) //Simplify 

H = (Ε Ν - 2 F M + G L)/(2 (Ε G - F^2)) // Simplify 

________________________________________________________

 

 

$S=\left( \begin{array}{cc}  \frac{-\left(v^2+1\right) f^{(0,2)}(u,v)-u v f^{(1,1)}(u,v)}{\left(u^2+v^2+1\right)^{3/2}    \left(f^{(1,1)}(u,v)^2-f^{(0,2)}(u,v) f^{(2,0)}(u,v)\right)} & \frac{\left(u^2+1\right) f^{(1,1)}(u,v)+u v    f^{(0,2)}(u,v)}{\left(u^2+v^2+1\right)^{3/2} \left(f^{(1,1)}(u,v)^2-f^{(0,2)}(u,v) f^{(2,0)}(u,v)\right)}    \\  \frac{\left(v^2+1\right) f^{(1,1)}(u,v)+u v f^{(2,0)}(u,v)}{\left(u^2+v^2+1\right)^{3/2}    \left(f^{(1,1)}(u,v)^2-f^{(0,2)}(u,v) f^{(2,0)}(u,v)\right)} & \frac{-\left(u^2+1\right) f^{(2,0)}(u,v)-u v    f^{(1,1)}(u,v)}{\left(u^2+v^2+1\right)^{3/2} \left(f^{(1,1)}(u,v)^2-f^{(0,2)}(u,v) f^{(2,0)}(u,v)\right)}    \\ \end{array} \right)$

Comments

$f^{(1,1)}(u,v)=f_{uv}$ ve $f^{(2,0)}(u,v)=f_{uu}$ dur.. $f(u,v)$ belli ise cok daha sade bir sonuc verebilir.

---

ökkeş hocam katsayıları yanlış vermişim kusura bakmayın. Doğrusu aşağıdaki gibi olacaktı:

$E=f_{uu}^2(1-u^2)-2uvf_{uv}f_{uu}+f_{uv}^2(1-v^2)$  

$G=f_{vv}^2(1-v^2)-2uvf_{uv}f_{vv}+f_{uv}^2(1-u^2)$

$F=f_{uv}[f_{uu}(1-u^2)+f_{vv}(1-v^2)]-uv(f_{uu}f_{vv}+f_{uv}^2)$

$L=\dfrac{f_{uu}}{\sqrt{u^2+v^2-1}}$

$N=\dfrac{f_{vv}}{\sqrt{u^2+v^2-1}}$

$M=\dfrac{f_{uv}}{\sqrt{u^2+v^2-1}}$

Bu veriler kullanılarak aşağıdaki değerleri hesaplanacak.

  $$K=\dfrac{det II}{det I}=\dfrac{LN-M^2}{EG-F^2}$$   ve    $$H=\dfrac{EN-2FM+GL}{2(EG-F^2)}$$

---

@alpercay hocam sonucu yeni katsayilara gore yeniden hesapladim.. Basit fonksiyonlar ile teyit etmekte yarar var. Kolay gelsin..

---

Çok teşekkürler Ökkeş Hocam, çok makbule geçti. Kontrol ederim.

---

Ökkeş hocam bir de şu hesaba ihtiyacım var:

$E=f_{uu}^2(1+u^2)+2uvf_{uv}f_{uu}+f_{uv}^2(1+v^2)$  

$G=f_{vv}^2(1+v^2)+2uvf_{uv}f_{vv}+f_{uv}^2(1+u^2)$

$F=f_{uv}[f_{uu}(1+u^2)+f_{vv}(1+v^2)]+uv(f_{uu}f_{vv}+f_{uv}^2)$

$L=\dfrac{f_{uu}}{\sqrt{u^2+v^2+1}}$

$N=\dfrac{f_{vv}}{\sqrt{u^2+v^2+1}}$

$M=\dfrac{f_{uv}}{\sqrt{u^2+v^2+1}}$
verileri ile $$S=\dfrac{1}{EG-F^2} \begin{bmatrix}    LG-MF   & MG-NF \\EM-LF&EN-MF  \end{bmatrix}$$  matrisi ifade edilecek.

---

Hesapladim hocam, kolay gelsin..