Karmasik sayılar tanimi ile ilgili bir soru.

Question

Hocalarım karmaşık sayılara çalışıyorum da şurada takıldım

$x^2+1=0$ denklemini normal cozuyoruz

$\sqrt{x^2}=\sqrt{-1}$

Burdan 1.kok $x=\sqrt{-1}$

2. Kök ise $x=-\sqrt{-1}$ olması gerekmiyor mu

You tubede video izliyorum hoca direk $x=\sqrt{-1}$ yazıyor

Diğer 2. Koku yani $x=-\sqrt{-1}$ bu koku neden yazmıyor.

Comments

Selamlar.Şahsi öngörüm:

denklemi   $$x^2=-1$$ şeklinde yazdıktan sonra iki trafın kökünü alamayız.Çünkü reel sayılarda tanımı yok,karmaşık sayılarda kök alma tanımlı değil diye biliyorum.Bundan sonrası yaklaşım önce tanımı yapmak(ortaöğretim). çıkış noktamız -1 yerine ne yazacağımız.

$$C=\{{z=a+bi...a,b\in R}... ve ..{i^2=-1\}}$$ kümesi karmaşık sayılar kümesidir.

Ortaöğretimde $$i=\sqrt{-1}$$ yazılması bence çok sakıncalıdır.

Çıkış noktamız Ali Nesin hocamızın daha önce yazdıklarından,hatırladığım kadarıyla

'' sıfır böleni olmayan bir halkada $$x^2=a$$  denkleminin sıfır,bir veya iki çözümü vardır.İki çözüm olduğunda birini diğerinden ayırabiliyorsak karekök'ü tanımlarız.R'de denklemin çözümlerinden biri pozitif olacağından onu diğerinden ayırıp karekök fonksiyonunu tanımlayabiliriz.Oysa kompleks sayılarda denklemin çözümlerini ayırt edemeyiz. $$i$$  ve $$-i$$ arasında fark yoktur.

Yani

$$a+bi$$   ve $$a-bi$$ arasında fark yoktur,bu yüzden komleks sayılarda karekök fonksiyonu yoktur'' diye yazmıştı.

bu konuda daha teknik (lisans) teorik herhangi bir araştırmam çalışmam olmadı,yorum yapmam abes olur

Zannımca asıl yapılan hata $$x^2=-1$$ yazdıktan sonra karekök almaya çalışmak.

Kolay gelsin

Answer 1

Bu ikisinden birini seçmen gerekiyor. Aslında $\sqrt{-1}$ veya $-\sqrt{-1}$ seçmek arasında bir fark yok çünkü $\varphi: a+bi \mapsto a-bi$ bir otomorfi.

Matematiksel olarak tanımı şöyle yapmak daha uygun bence: gerçel katsayılı polinomları alalım ve istediğimiz 0'a eşit olmasını istediğmiz şeye bölelim. $\mathbb{R}[X]/\langle X^2+1 \rangle$. Karmaşık sayıları bu yapı olarak tanımlayabiliriz. Artık $X$ karesi $-1$ olan bir eleman ve $\sqrt{-1}$ gibi $-\sqrt{-1}$ problemli ifadeler yok.

Comments

Hocam dediklerinizi anladım saolun açıkladığıniz için ama suradada kafam takıldı

$x^2=9$ gibi bir ifade var bunu sağlayan değerler $x=3$ ve $x=-3$ yani 2 koku var 2 sinide çözüm kümesine dahil ediyoruz

Bu karmaşık sayılarda

$x^2+1=0$

$x^2=-1$ buda kokleri

$x=\sqrt{-1}$ ve $x=-\sqrt{-1}$ oluyor ve iki koku var yani burda 2 kokte çözüm kümesine dahil oluyor mu

Yada birini kök olarak kabul edince diğerini kök olarak kabul edemiyormuyuz hocam.

Hocam bide çift katlı kök tam olarak nasıl oluyor bir örnek verirseniz sevinirim şimdiden teşekkur ederim hocam.

---

Bence matematiksel olarak tanımı en doğal tanım olmalı. Şurada da Lokman Gökçe ile tartışmıştık bu konuyu. 

---

Evet, $X^2+1$ polinomunun iki kökü var, $i$ ve $-i$. Çarparak kontrol edebilirsin: $$(x-i)(x+i)=X^2+1$$

---

Çarpma ve toplama üzerinden olan tanım daha doğal mı bilmiyorum, ben böyle ideale bölerek tanımlamayı gördüğümde "Ne kadarzarif ve zekice!" demiştim.

Üstelik cisim olduğunu görmek de daha eğlenceli bence.

---

Anladım hocam saolun hocam peki karmaşık sayilar toplamabilir mi

Yani $2i+5i=7i$ diyebilir miyiz.

---

Daha dogal ne demek ? Bu terimi bol bol duyuyorum kasit ne burada ?

Answer 2

Gerçekten de, yazdığınız denklemin 2 adet kökü vardır ancak biz karmaşık sayı birimi olan i olarak temel (principal) kök olanı seçeriz. Sercan hocanın verdiği cevabı da buaraya bırakıyorum:

https://matkafasi.com/112237/karmasik-sayisinin-negatif-birinci-kuvvetlerinin-birbirlerine

Soru 1: −1 karmasik sayisinin kökleri nelerdir?

Cevap: i ve −i karmasik sayilaridir.

Soru 2: −1 karmasik sayisinin temel koku nedir?

Cevap: i karmasik sayisidir.