$\mathbf{x}=(x_n)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}},\ \bigcup_{i=1}^\infty A_i=\mathbb{N}$ ve (her $i$ için) $\lim\mathbf{x}\mid_{A_i}=L$ ise $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=L$ olur mu?

Question

$\mathbf{x}=(x_n)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}},\ L\in\mathbb{R}$

$\bigcup_{i=1}^\infty A_i=\mathbb{N}$ (Her bir $A_i$ sonsuz) ve

$\forall i$ için $\lim\mathbf{x}\!\mid_{A_i}=L$ $\quad(\mathbf{x}\mid_{A_i}$ alt dizi$)$

ise $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=L$ olur mu?

Comments

Sonlu çoklukta $A_i$ için (yani $\mathbb{N}=\bigcup_{i=1}^n A_i$ iken) benzer sorular soruldu.

(Tam gösterilmedi ama) O zaman doğru oluyor.

Burada, istenirse, her $i\neq j$ için $A_i\cap A_j=\varnothing$  kabul edilebilir.

---

Edit: Soru başlığına da "her $i$ için" ekledim.

Answer 1

Asal sayıları $p_1, p_2, \ldots$ diye sıralayalım.

$A_i = \{p_i, p_i^2, p_i^3 \ldots \}$ olsun.

$A_0 = \mathbb N \setminus \bigcup A_i$ olarak tanımlayalım (en az iki asal çarpanı olanlar ve tabii ki bir ve sıfır)

Şimdi asal sayılarda 1 ve diğer sayılarda 0 olan diziyi düşünelim.

$A_0$ üzerinde tamamen sıfır bu dizi.

Diğer $A_i$'lerde 1 ile başlayıp 0 diye devam ediyor.

Dolayısıyla sorunun şartlarını yerine getiriyor. Ama sonsuz sayıda asal olduğu için sürekli 1'e kaçıyor.

Comments

Biraz Hilbert oteli probleminden ilham aldım galiba.

---

Benim düşündüğüm örneğin neredeyse aynısını bulmuşsun Ozgur.

Ben $x_{p^i}= \frac1i$ düşünmüştüm.

---

ya @Ozgur ben bir seyi anlamadim:

Verdigin diziyi $A_1$ kumesi uzerine sinirlayinca yakinsak ama diger dizilerin aksine $0$ yerine $1$ e yakinsiyor. Sorunun sarti hepsinin ayni sayiya yakinsiyor olmasi degil mi ?

Nereyi kaciriyorum ?

Tamam ben yanlis anlamisim tamamen. Simdi cozdum cok guzelmis