Question

$x$ ve $y$ gerçel sayılar, $4x^2+9y^2=8$ eşitliği sağlanıyorsa, $8x^2+9yx+18y^2+2x+3y$ ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir?

Comments

Pozitif gerçel Sayılar olabilirmi?

---

Gercl sayı  ama pozitif olmalı yoksa esitzlk uygulama kıstlanr

Answer 1

$2(4x^2+9y^2)\geq (2x+3y)^2$ kuvvet ortalaması  

$(4x^2+9y^2)\geq 2(2x.3y)$ $A.O \geq G.O$ elde ederiz buradan

$4\geq (2x+3y)$  ve $2/3\geq x.y$ bulunur verilen denklem de  

$2(4x^2+9y^2)+9(xy)+(2x+3y)\le 16+6+4=26$ bulunur

Comments

Kuvvet ortalaması diye karesel ortalama-kuadratik ortalama (KO) eşitsizliği kullanılmış. Bilindiği üzere $KO\ge AO\ge GO\ge HO$ şeklinde sıralanır.  Karesel ortalama yerine Bergstrom-Titus lemma-sedrakyans eşitsizliği-faydalı eşitsizlik olarak bilinen aşağıdaki eşitsizlik de kullanılabilir:

$$\dfrac{x_1^2}{y_1}+\dfrac{x_2^2}{y_2}\ge  \dfrac{(x_1+x_2)^2}{y_1+y_2}$$   Burada $y_1,y_2\in\mathbb {R_+}$  ve $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ dir.