Sayılar Teorisinde bir teorem ispatı

Question

$\phi(n)$,  n'in Euler fonksiyonu olsun. $1\leq a\leq  n$ olmak üzere $(a,n)=1$ koşulunu sağlayan $a$ doğal sayılarının kümesine $M$  diyelim. $M$ kümesinin elemanları toplamı $\frac{n.\phi(n)}{2}$ dir. 

Not:Sayılar teorisinde böyle bir teorem olduğunu hatırlamıyorum. Bir problemle uğraşırken geliştirdim.

İspat:

$n=p_1^{r_1}.p_2^{r_2}.p_3^{r_3}...p_k^{r_k}$ olsun. Burada $1\leq i\leq k$, her $r_i$ bir doğal sayı ve her $p_i$ bir asal sayıdır.

Ayrıca $p_1<p_2<p_3<...<p_k$ olduğunu düşünelim.  $\phi(n)$  çarpımsal bir fonksiyon olduğundan,

$\phi(n)=\phi(p_1^{r_1}.p_2^{r_2}.p_3^{r_3}...p_k^{r_k})=\phi(p_1^{r_1}).\phi(p_2^{r_2}).\phi(p_3^{r_3})...\phi(p_k^{r_k})$ ve bunları da,

$\phi(n)=p_1^{r_1-1}(p_1-1).p_2^{r_2-1}(p_2-1).p_3^{r_3-1}(p_3-1)...p_k^{r_k-1}(p_k-1)$ olur. Burada $p_1=2$ olduğundan $p_1-1=1$ olup diğer $p_i-1$ ler birer çift sayıdır.  O halde  $n\geq3$ için $\phi(n)$ daima çift bir doğal sayıdır.

Şimdi $n>a$  olsun ve  $OBEB(n,a)$ yerine $(n,a)$ 'yi kullanalım.

Önsav: Eğer $(n,a)=1 \Leftrightarrow (n,n-a)=1$ dir.

ispat:(gerek şart) :

$(n,a)=1$   ise  $xn+ya=1$ olacak şekilde  $x,y\in \mathbb{Z}$  tam sayıları vardır.

$xn+ya+ax-ax=1\rightarrow (n-a)x+a(y+x)=1$ olur ve     $x,(y+x)\in\mathbb{Z}$ olduğundan $(n-a,a)=1$ olacaktır. Benzer olarak $k,t\in Z$ için  $k.(n-a)+ta=1\rightarrow (k-t)(n-a)+t.n=1 \Rightarrow  (n-a,n)=1$ yazılabilir.

(yeter koşul): $(n-a,n)=1$ olsun. Benzer olarak $(n-a).k+n.t=1$ koşulunu sağlayan en az iki   $k,t\in\mathbb{Z}$ tam sayıları vardır.  Buradan $nk-ak+nt=1\Rightarrow (k+t)n+(-k)a=1\Rightarrow (n,a)=1$ dir.

Şimdi $1\leq a\leq n$  ve $(n,a)=1$  olan   $a$   doğal sayılarının sayısının $\phi(n)$ kadar olduğunu  ve $n\geq 3$ için  $\phi(n)$'in daima çift olduğunu artık biliyoruz. Bu $a$ sayılarının kümesine $M$ diyelim. Biz $M$ nin elemanlarının toplamının $\frac{n.\phi(n)}{2}$ kadar olduğunu göstereceğiz.

$M$ kümesi $[1,n)$ aralığındaki $n$ ile aralarında asal olan bütün doğal sayıları içerdiğinden,

eğer  $a\in M$  ise tanımdan dolayı $(n,a)=1$ dir.

Öte yandan $n-a<n$ ve $(n-a,n)=1$ olduğundan $(n-a)\in M$ demektir.

Yani her     $a\in M$ için bir   $n-a\in M$ vardır ki $(n,n-a)=1$ dir.

$\phi(n)$ 'in eleman sayı çift olduğundan bu $(a,n-a)$  ikililerinin sayısı $\frac{\phi(n)}{2}$ kadardır. Bu şekildeki herbir ikilinin  toplamı $a+n-a=n$ olduğundan, $M$ 'nin elemanları toplamı $\frac{\phi(n)}{2}.n$ dir.

 

 

Comments

Sonuç, $n>1$ için doğru, ama yazımda biraz karışıklık olmuş:

Sondan 3. satırdaki $n-a\in M$ oluşu, üst satırdaki $(n-a,a)=1$ oluşundan elde edilmiş.

Bunun için, $(n-a,n)=1$  gerekiyorken, üst satırda $(n-a,a)=1$ olduğu gösterildi.

Ama, önceki ön savda, iddia $(n-a,n)=(n,a)$ olarak yazılıp (ispat da düzenlenirse) her şey tam olacak.

---

Şöyle de yapılabilir:

$(n-a,a)=1$ ise $s(n-a)+ta=1$ olacak şekilde $s,t\in\mathbb{Z}$ vardır.

Bu eşitliği düzenlersek,  $(s-t)(n-a)+tn=1$ olur ve $(n-a,n)=1$ elde ederiz.

 

EK: Wikipedia da varmış bu formül.

---

Doğan hocam uyarınız için çok teşekkür ederim. İspatı düzenledim.

Öte yandan böyle bir formül var mı,yok mu diye araştırmamıştım.

Bu benim kendimce önemsediğim bir durum. Selam ve saygılar.

---

Kendi çabalarınızla güzel bir eşitlik bulmuşsunuz, ne güzel. Ben de, daha önce görmemiştim bu formülü..

Böyle durumlar oluyor, tarihte pek çok örneği var.

Matematik, en az 4000 yıllık,  milyarlarca kişinin, az  veya çok, bir şeyler eklediği, dağ gibi bir bilgiler topluluğu.

Hepsini bilmek mümkün değil.

---

Çok haklısınız hocam. Ben de zaten sayılarla ilgili bir olimpiyat sorusuna uğraşırken düşündüm.

Şimdi artık neyin bilinip neyin bilinmediğini tam olarak belirlemek pekte kolay değil. Mutlu oldum doğrusu.

Selam ve saygılar.