f\left( x\right) =\begin{cases}1,\ x \in \mathbb{Q}\\ 0, \ x\notin \mathbb{Q}\end{cases}
Diyelim ki f(x) sürekli olsun. O halde:
\lim _{x\rightarrow x_{0}}f\left( x\right) =f\left( x_{0}\right) \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0,\exists \delta>0: eğer, \left| x-x_{0}\right| <\delta ise \left| f\left( x\right) -f\left( x_{0}\right) \right| <\varepsilon olur.
O halde \varepsilon=1 olsun. yazılabilir ki:
\left| f\left( x\right) -f\left( x_{0}\right) \right| <1. O zaman x_{0} rasyonel bir sayı olsun, o halde f(x_{0})=1 olur. Fakat, rasyonel sayıların yoğunluğundan dolayı x\in(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta) aralığından irrasyonel bir sayı seçebiliriz. o da f(x)=0 olur. Kısacası,
\left|0-1\right|<1, ki bu da çelişkidir.
Aynısını, tekrar ve bu sefer f(x_{0})'ı irrasyonel seçerek, bir çelişki elde ederiz. Bu iki çelişki bize bu fonksiyon kuralının her aralıkta süreksiz olduğunu gösterir. \blacksquare