2019 İngiltere Matematik Olimpiyatı, 1. Tur geometri sorusu

Question

Hoş bir geometri problemi.

 

Soru: $S_1$ ve $S_2$ çemberleri birbirine $P$ noktasında teğettir. Çemberlerin  $P$ den geçmeyen ortak bir teğeti, $S_1$ e $A$ da ve $S_2$ ye $B$ de teğettir. $C$ ve $D$ noktaları sırasıyla $S_1$ ve $S_2$ üzerinde olup $ABP$ üçgeninin dışındadır. Ayrıca $P$ noktası da $CD$ üzerindedir. $AC$ ile $BD$ nin dik olduğunu ispatlayınız.

 

Kaynak: İngiltere Matematik Olimpiyatı, 1. Tur pr-3, 29 Kasım 2019.

 

Answer 1

Çözüme uygun çizimi, bu işi iyi bilen soru sahibi arkadaşıma bırakıyorum.

$P$ noktasından geçen iç ortak teğetin $AB$ dış ortak teğetini kestiği nokta $K$ olsun.  Ayrıca $[CA$ ile $[DB$ ışınları $L$ noktasında kesişsin. Biz $m(\widehat{CLD})=90^\circ$ olduğunu göstereceğiz.

Eğer $m(\widehat{ACP})=\alpha^\circ$ ise çemberde aynı yayı gören çevre açı ölçüleri eşit olduğundan $m(\widehat{KAP})=m(\widehat{APK})=\alpha^\circ$ olur.  Benzer olarak $m(\widehat{PDB})=\theta^\circ$    ise $m(\widehat{PBK})=m(\widehat{KPB})=\theta^\circ$ olacaktır. $PAB$ üçgeninde $2\alpha+2\theta=180^\circ\Rightarrow \alpha+\theta=90^\circ$ olur.  O zaman $CLD$ üçgeninde $m(\widehat{DLC})=90^\circ$ olur.

Comments

Bu çizimi çözümünüze ekleyebilirsiniz Mehmet hocam. Teşekkürler.

---

Nasıl ekliyeceğim?

---

Fareyle resmin üstüne gelip sağa tıklayın. Farklı kaydet'i seçin. Sonra çözümünüzü ''Düzenle'' kısmına tıklayın. Menüde, (kod ekle, bağlantı ekle ...vs var ama onlara tıklamayın) resim ekleme seçenekleri geliyor. Resim ekle'ye tıklayıp kaydettiğiniz resmi seçiniz. Resmi, çözüm metninizdeki istediğiniz bir yerde gösterebilirsiniz.

 

Ayrıca çözümde \widehat ve \circ latex kodlarını kullanarak $m(DLC)=90$ yerine $m (\widehat{DLC}) = 90^\circ$ daha güzel görünümü elde edilebiliyor. Bunu da paylaşmış olayım.

---

Kaydettiğim resmi seçme işlemi sonrasında ne yapacağımı  bilemedim. Dolayısıyla da başaramadım. Yardımın için çok teşekkür ederim.

---

Daha sonra da "sunucuya yükle" işlemi yapmak gerekiyor.

---

Teşekkürler Doğan hocam. Ben başaramamıştım. Çözüm şekille tamamlanmış oldu.