Problemdeki etiketlere bakarak, soyut cebir yöntemleriyle bir çözüm kurgulandığını düşündürüyor. Ben elemanter sayılar teorisi yöntemleri ile çözüm vereceğim. Önce bir lemma ispatlayalım:
Lemma: n bir pozitif tam sayı ve √n bir rasyonel sayı olsun. Bu durumda √n bir tam sayıdır. Diğer bir deyişle n bir tam karedir.
İspat: a,b pozitif tam sayılar ve (a,b)=1 olmak üzere √n=ab biçiminde yazılmış olsun. Kare alırsak n=a2b2 olur. Fakat (a2,b2)=1 olduğundan n=a2b2 kesri indirgenemez (daha fazla sadeleşemez) biçimdedir. Öte yandan n bir tam sayı olduğundan b=1 olmalıdır. Böylece n=a2 biçiminde tam kare bir tam sayıdır.
Şimdi ana probleme bakalım. n tam kare olmayan bir pozitif tam sayı ise m2<n<(m+1)2 olacak biçimde bir m pozitif tam sayısı vardır. Karekök alırsak, m<√n<m+1 olur. Ardışık iki tam sayının arasında başka bir tam sayı olamayacağından √n bir tam sayı değildir. √n sayısı rasyonel sayı da olamaz. Çünkü √n rasyonel sayı olsaydı ispatladığımız Lemma'ya göre √n bir tam sayı oluyordu ve bir çelişki elde ederdik. Sonuç olarak √n sayısı irrasyoneldir.