Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
600 kez görüntülendi
n tam kare olmayan bir tamsayı ise n irrasyonel sayıdır.
Lisans Matematik kategorisinde (260 puan) tarafından  | 600 kez görüntülendi

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Problemdeki etiketlere bakarak, soyut cebir yöntemleriyle bir çözüm kurgulandığını düşündürüyor. Ben elemanter sayılar teorisi yöntemleri ile çözüm vereceğim. Önce bir lemma ispatlayalım:

 

Lemma: n bir pozitif tam sayı ve n bir rasyonel sayı olsun. Bu durumda n bir tam sayıdır. Diğer bir deyişle n bir tam karedir.

 

İspat: a,b pozitif tam sayılar ve (a,b)=1 olmak üzere n=ab biçiminde yazılmış olsun. Kare alırsak n=a2b2 olur. Fakat (a2,b2)=1 olduğundan n=a2b2 kesri indirgenemez (daha fazla sadeleşemez) biçimdedir. Öte yandan n bir tam sayı olduğundan b=1 olmalıdır. Böylece n=a2 biçiminde tam kare bir tam sayıdır.

 

Şimdi ana probleme bakalım. n tam kare olmayan bir pozitif tam sayı ise m2<n<(m+1)2 olacak biçimde bir m pozitif tam sayısı vardır. Karekök alırsak, m<n<m+1 olur. Ardışık iki tam sayının arasında başka bir tam sayı olamayacağından n bir tam sayı değildir. n sayısı rasyonel sayı da olamaz. Çünkü n rasyonel sayı olsaydı ispatladığımız Lemma'ya göre n bir tam sayı oluyordu ve bir çelişki elde ederdik. Sonuç olarak n sayısı irrasyoneldir.

(2.6k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme
Kabul edelim ki  n=a/b olsun. Burada a ve b aralarında asal sayılar  olacak . Bu durumda a2=nb2 yazabiliriz yani (a2)Z(b2)Z.  n bir tam kare olmadığından 1(b2)Z ve böylece (b2)Z , Z nin has(proper) idealidir.Bu nedenle , (b2)Z , Z nin maksimal ideali tarafından kapsanır . Buradan Z nin her maksimal ideali  ; r bir asal sayı olmak üzere  (r)Z biçimindedir , şimdi öyle bir p asalı sayısı vardır ki  (a2)Z(b2)Z(p)Z içindeliklerini yazabiliriz , buradan p asal sayısı a ve b nin her ikisini de tam böler , en başta kabul ettiğimiz a ve b tamsayılarının aralarında asal olması ile çelişir.
(260 puan) tarafından 
20,331 soru
21,887 cevap
73,623 yorum
3,030,495 kullanıcı