Mükemmel Cisim ve Mükemmel Olmayan Cisim

Question

Teorem : F bir cisim ve Char(F)=p   olsun.  F  nin mükemmel olması için gerek ve yeter şart  $F=F^p$ olmasıdır. 

Bu teoreme göre ben $\mathbb{Z}_2$ cismini alsam. 

$Char(\mathbb{Z}_2)=2$ olup ,  $\mathbb{Z}_2$ nin mükemmel olması için gerek ve yeter şart $\mathbb{Z}_2=(\mathbb{Z}_2)^2$ mi?

Diye sorguladıgımda;

$\bullet$ $1\in\mathbb{Z}_2$ için $1=b^p \rightarrow 1=b^2$ olacak biçimde $b\in\mathbb{Z}_2$ var mı?

öyle bir $b\in\mathbb{Z}_2$ bulabilirim. $1=b\in\mathbb{Z}_2$ olarak alabilriz.

$\bullet$ $0\in\mathbb{Z}_2$ için $0=b^p \rightarrow 0=b^2$ olacak biçimde $b\in\mathbb{Z}_2$ var mı?

aynı şekilde $b\in\mathbb{Z}_2$ bulabilirim. $0=b\in\mathbb{Z}_2$ olarak alabilriz.

yani $\mathbb{Z}_2=(\mathbb{Z}_2)^2$ olması mümkün. Bu doğru mu?

2. olarak mükemmel cisimi böyle bulabilirsek mükemmel olmayan cisim için bunun olmadığı bir koşul işimizi sağlar mı?

Answer 1

Birinci soruna yanıt: Evet doğru.

Ikinci soruna yanıt: Evet. Gerek şart demek o demek. Mükemmel cisim olması için bu şart gerekli. Demek ki bu şart sağlanmazsa mükemmel olmayız.

Comments

Peki o zaman şöyle söyleyebilir miyim?

Mükemmel olmayan cisim için $F=F^p$ bu eşitliği saglamayacak bir cisim lazım. Ama bu cisim $\mathbb{Z}_p$ olamıyor. Kosulu gercekliyor. Karakteristiği sıfır olanlara baksam onlarda;

Teorem : F bir cisim ve Char(F)=p   olsun.  F  nin mükemmel olması için gerek ve yeter şart  $F=F^p$ olmasıdır. teoreminden dolayı karakteristiğin 0 dan farklı olması yüzünden saglamıyor.

Geri kalan baska secenek polinom halkaları onlarda özel bir cisim ama hangi polinom halkalarında bu teoremi calıstırabiliyorum. Sanırım karakteristiği 0 dan farklı olanlar yine $\mathbb{Z}_p[x]$ cisimleri.

Şimdi o zaman soru şu $\mathbb{Z}_p[x]$ deki elemanlar polinomlar bunları nasıl değerlendireceğim ben?

---

$\mathbb{Z}_p[x]$ bir cisim değildir. Bir maksimal ideale bölmen gerekir cisim elde etmek için.

Ama işin biraz zor. Şunu önce göstermeyi dene:

HER sonlu cisim mükemmeldir.

(Bu doğru ise, mükemmel olmayan cisilmlerin karakteristiği asal ama  sonsuz çoklukta elemanı olmak zorunda)

---

$\bullet$Her sonlu cisim mükemmeldir.

F sonlu bir cisim $\lambda:F\rightarrow F$, $\lambda_p(a)=a^p$ şeklinde bir $\lambda_p$ homomorfizması tanımlarsak,

$Gör(\lambda)$=$\{\lambda_p(a):a\in F \}$=$\{a^p : a\in F\}$ =$F^p$ oldugundan $F=F^p$ dir. Yukarıda yazmış oldugum teoremden dolayıda F mükemmeldir şeklinde ifadeyle elimde buna ait kanıt mevcut.

Peki dediğinize göre düşünürsek bu sonucun tersi için kesin dogruluk payı var mı?Yani tamam bu dogru o zaman ben bu teoremden dolayı sonsuz elemanlı asal karakteristikler kesin mükemmel degildir diyebilir miyim?

Şöylede bir durum var, hangi ifadeye bakarsam bakayım cisimin karakteristiği 0 olup sonsuz elemanlı olan karakteristigi 0 dan farklı olan sonlu elemanlı cisimler hep mükemmel iken "mükemmel olmayan cisilmlerin karakteristiği asal ama  sonsuz çoklukta elemanı olmak zorunda" ifadesi biraz kafamı karıstırdı.

---

İspatlayabilirsen diyebilirsin.

---

(Mükemmel  olmayan cisimlerin varlığı henüz gösterilmemiş ise) Belki şöyle ifade etmek dah iyi olur:

  (eğer varsa) Mükemmel  olmayan bir cismin karakteristiği asal ama  sonsuz çoklukta elemanı olmalıdır.

---

Şimdi efendim mükemmel olmayan cisimlerin varlıgı henüz gösterilmemiş ise biz bu sonucu kullanıp ispatladıgımız an sizin bu dediğiniz denebilir yani;

"(eğer varsa) Mükemmel  olmayan bir cismin karakteristiği asal ama  sonsuz çoklukta elemanı olmalıdır."

Peki ben ne sorarsam sorayım o zaman mükemmel olmayan cisimlerin varlıgı henüz gösterilmediği için sizin bu dediğiniz şekilde düşünmem bana yardımcı olacak o halde.

$\mathbb{Z}_p[x]$ polinom halkasını bir maksimali olan $p\mathbb{Z}$ ye bölsek ? Bizi nasıl bir yola sokacak peki? Lisans düzeyi için aşıyorsa bu mükemmel olmayan cisimler hocam konuyu kapatabiliriz sadece merakımdan soruyorum sorularımı :)

---

Yok demedim. Kesinlikle var. Sen henüz göstermedin demek istedim. Bu konudaki kitaplarda örneğini görebilirsin.

$p\mathbb{Z}\nsubseteqq \mathbb{Z}_p[x]$

---

Hocam peki kitap önerisinde bulunabilir misiniz? Elimde bir tane kitap var ama mükemmel ve mükemmel olmayan cisimlerle ilgili konu yok içinde.

---

J. Rotman, Galois Theory (2. Baskı)

Orada, mükemmel olmayan cisim örneği (alıştırmaları yapınca) bulunuyor.

---

Aslında orada (Rotman ın Galois Theory kitabı) mükemmel cisim farklı şekide tanımlanıyor, ama alıştırmalarda bu tanıma eşdeğer olduğu gösteriliyor.

Answer 2

$\mathbb{F} = \mathbb{F}_p(X)$ cismi (ki bunlar $g \neq 0$ olmak üzere $f, g \in \mathbb{F}_p[X]$ polinomları için $f/g$ biçiminde yazılan rasyonel polinomlar kümesidir; tahmin edilen toplama ve çarpmayla bir cisim olur) mükemmel bir cisim değildir. $\alpha(X)^p = X$ eşitliğini sağlayan bir $\alpha(X) \in \mathbb{F}_p(X)$ elemanı yoktur çünkü. (Alıştırma olarak bırakıyorum. İpucu: $a_i \in \mathbb{F}_p$ için, $(a_0+a_1X + a_2X^2 + \cdots + a_nX^n)^p = a_0 + a_1X^p + a_2X^{2p} + \cdots + a_n X^{np}$ olur.)