Kısmi diferansiyel denklemlerde genel çözüm bulamıyorum

Question

$$x^2 z_{xx}-2xyz_{xy}+y^2 z_{yy}+xz_{x}+yz_{y}=0$$
denklemin tipini belirledim.Denklem parabolik tipten.

karakteristik denklemini ise $$xy=c_{1}$$ buldum.

$$\zeta=x$$ olarak seçtim. $$\varepsilon=xy$$
Jakobienlerini hesaplayınca $$-x\neq0$$
$$z_{x}=yz_{\varepsilon}$$
$$z_{y}=xz_{\varepsilon}+z_{\eta}$$
oluyor fakat burda ben $$z_{xx}$$ i nasıl hesaplamam gerekiyor bir türlü yapamadım.