$a\cos x+b\sin x\le\sqrt{a^2+b^2}$ gösteriniz

Question

Yukarıdaki eşitsizlik lisede kullanılmakta ama genellikle kanıt verilmemektedir. Bilgi amaçlı kanıtlarmısınız

Answer 1

$a=b=0$ ise bir şey yapmak gerekmiyor.

$(a,b)\neq(0,0)$ olsun.

$\frac a{\sqrt{ a^2+b^2}}$ ve $\frac b{\sqrt{ a^2+b^2}}$ nin kareleri toplamı 1 olduğundan $\cos \theta=\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}$ ve $\sin\theta=\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}$ olacak şekilde bir $\theta$ açısı vardır.

$a\sin x+b\cos x=\sqrt{ a^2+b^2}\left(\sin x\cos\theta+\sin\theta\cos x\right)=\sqrt{ a^2+b^2}\sin(x+\theta)$ olur. $\sin(x+\theta)\leq1$ olduğundan istenen eşitsizlik elde edilir.

Comments

Cauchy-Schwartz eşitsizliği ile de (daha kısa olarak) gösterilebilir.

---

Teşekkürler Sn Hocam

Answer 2

Birim çember üzerindeki bir nokta $P=(\cos x,\sin x)$ ve orijinden geçen bir doğru  $ax+by=0$ olsun. $P$ noktasının doğruya uzaklığı orjine uzaklığından küçük eşit olduğundan $$\dfrac{|a\cos x+b\sin x|}{\sqrt{a^2+b^2}}\le 1$$ olmalıdır.

Answer 3

$<,>$ ile standart iç çarpımı gösterelim. $a$ ve $b$ sabit reel sayılar olmak üzere $$f(x)=a\sin x+b\cos x=<(a,b),(\sin x,\cos x)>=< \gamma,\beta>=|\gamma|\cdot|\beta|\cdot\cos \zeta$$  olsun.

$\gamma$  ve $\beta$ vektörleri arasındaki açı $\zeta=0$ iken $f_{maks}$  ve $\zeta=\pi$ iken $f_{min}$ değerini elde ederiz. Buna göre   $$f_{maks}==|\gamma|\cdot|\beta|\cdot\cos 0=\sqrt{a^2+b^2}$$    $$f_{min}==|\gamma|\cdot|\beta|\cdot\cos \pi=-\sqrt{a^2+b^2}$$  bulunur.

Answer 4

Burada da yanıtlamışız.