1-boyutlu ısı denkleminin verilen başlangıç ve sınır koşullarına uyan çözümünü nasıl buluyoruz?

Question

Şeklinde verlen 1-boyutlu ısı denkleminin verilen başlangıç ve sınır koşullarına uyan çözümünü bulunuz.

Çözüm:

$$u(x,t)=\dfrac{f(x-2t)+f(x+2t)}{2}+\dfrac{1}{4}\large\displaystyle\int_{x-2t}^{x+2t}Dd\varepsilon+\dfrac{1}{4}\large\displaystyle\int_{0}^{t}\large\displaystyle\int_{x-2(t-\zeta)}^{x+2(t-\zeta)}\zeta d\varepsilon d\zeta$$

 

 

$$=x^2-x^3-12xt+4t^2+\dfrac{t^3}{2}-\dfrac{4t^3}{3}$$

 

Ben bu şekilde buldum ama emin olamıyorum.Doğru mu ilerlemişim bilmiyorum  yardımcı olabilirseniz çok sevinirim

Comments

Evet yazdım.Ama bir türlü olmuyor

---

$$u(x,t)=\dfrac{f(x-2t)+f(x+2t)}{2}+\dfrac{1}{4}\large\displaystyle\int_{x-2t}^{x+2t}Dd\varepsilon+\dfrac{1}{4}\large\displaystyle\int_{0}^{t}\large\displaystyle\int_{x-2(t-\zeta)}^{x+2(t-\zeta)}\zeta d\varepsilon d\zeta$$

Sizin yazdığınız il formül. Ekrandaki metni ikişer dolar arasına yazdım, böyle oldu.

---

Ben sadece iki dolar işaretinin arasına yazıcaz sanıyordum

---

Evet şimdi oldu dediğiniz gibi yaptım

---

O da doğru ama, belki ifade uzun diye öyle olmuştur.

Diğer taraftan; bulduğunuz çözümü denklemde yeriine koyarak sağlamasını yapabilirsiniz. Hesaplamadım ama çözüm yanlış gibi geldi. 

Yukarıda da dediğim gibi, bu farklı bir denklem; çözümü de doğal olarak farklı olacak.

Wiki makalesinde Solving the heat equation using Fourier series bölümünden faydalanabilirsiniz.

---

Tamam inceliyorum şu anda Türkçe ye çevirdiğimde burda şey diyor kartezyen koordinat sisteminde (x,y,z) konumunu ve t zamanı göstermek üzere diyorda x,y ve z yi nasıl bulucaz?

---

Doğrudan ilgili kısma geliniz. 4. Solving the heat equation using Fourier series

Sizin probleminiz bir boyutta, yani $y,z$ koordinatları yok. Dolayısıyla bu koordinatları düşünmenize gerek yok.

---

Ama bunların hepsi İngilizce.Türkçeye çevirincede dili sadece ilk kısım gözüküyor

---

Translatten çevirmeye çalışıyorumda birazcık x e boşluk değişkenidir diyor.Boşluk değişkeni nedir?İlk defa duyuyorumda

---

Space: konum anlamında. Siz daha çok denklemlere odaklanın. Örneğin, orada $0\leq x\leq L$ demiş. Sizde $L=1$ olacak. Oradaki $\alpha$ sizde $4$ değerinde. Oradaki $u(x,0)=f(x)$ sizde $x^2(1-x)$. Başlangıç koşullarınız aynı. Dolayısıyla devamındaki denklemleri takip ederseniz, $$u(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} D_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-\frac{n^2\pi^2\alpha t}{L^2}}$$ ifadesine ulaşırsınız. Yukarıdaki bilgileri bu denkleme koyup çözmeye çalışın. Burada $$D_n=\frac{2}{L}\int\limits_0^Lf(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx$$ $f(x)$ fonksiyonunun Fourier kaysayılarıdır.

Bunları deneyiniz. Problem olursa yazınız. $u(x,t)$ çözümünün türetiminde problem varsa yine sorunuz.

---

u(x,t)=X(x).T(t)

$$u_{x}(x,t)=X'(x)T(t)$$
$$u_{xx}(x,t)=X''(x)T(t)$$
$$u_{t}(x,t)=X(x)T'(t)=0$$
$$X(x)T'(t)-4X''(x)T(t)=0$$
$$X(x)T'(t)=4X''(x)T(t)$$
$$\dfrac{T'(t)}{T(t)}=\dfrac{4X''(x)}{X(x)}$$
$$\dfrac{X''(x)}{X(x)}=k$$
$$\dfrac{T'(t)}{T(t)}=\dfrac{1}{4k}$$
$$X''-kX=0$$
$$X''=kX$$
$$\dfrac{T'(t)}{T(t)}=\dfrac{1}{4k}$$
$$4kT'=T$$
$$T'=\dfrac{T}{4k}$$

buraya kadar bulabildim sadece

---

u(0,t)=X(0)T(t)=0

u(1,t)=X(1)T(t)=0

buradan X(0)=0 ve X(1)=0 buldum.

i)k=0 için

$$m^2=0$$ , $$m_{1,2}=0$$

$$X(x)=c_{1}e^0+xc_{2}e^0$$
$$c_{1}+xc_{2}=X(x)$$
$$X(0)=c_{1}+0c_{2}=0$$
olduğundan buradan $$c_{1}=0$$ olur.

$$X(1)=c_{1}+1c_{2}=0$$
buradan ise $$c_{2}=0$$
ii)k>0 için ise $$m=-+\sqrt{k}$$

$$X(0)=c_{1}+c_{2}=0$$
$$X(1)=c_{1}e^\sqart{k}+c_{2}e^\sqart{k}$$

burdan determinant alınca 0 a eşit değil çıkıyor.

İii)k<0 için

$$m^2=-k$$ , $$m_{1,2}=-+i\sqrt{k}$$

$$X(x)=c_{1}cos\sqrt{k}x+c_{2}sin\sqrt{k}x$$ , $$X(0)=c_{1}=0$$
$$X(1)=c_{2}sin\sqrt{k}=0$$
$$c_{2}=0$$ , $$X(x)=0$$
$$c_{2}\neq0$$ , $$\sqrt{k}=0+n\pi$$
$$k=n^2\pi^2$$ , $$m=-+n\pi i$$

$$T(t)=Acosn\pi t+Bsinn\pi t$$
u(x,t)=X(x)T(t)

$$=c_{n}sinn\pi x[Acosn\pi t+Bsinn\pi t]$$
en sondaki işlemin başına n=1 den sonsuza olarak toplam sembolü koymam gerekiyor ama latexle nasıl yazıldığını bilmiyorum.Sonuç olarak bunu buldum.Doğru mu acaba?

---

Siz, benim yukarıda verdiğim iki ifadeyi kendi probleminize uygulayabilir misiniz öncelikle?

Yazdığınız çözüm takip edilemiyor maalesef. Uzun ve yazımhataları vs var.

---

$$D_{n}=2\large\displaystyle\int_{0}^{1} x^2(1-x)sin(n\pi x)dx$$
Burdan $$D_{n}=4sin(n \pi)$$ buldum.Doğruluğundan emin değilim.Onuda yerine yazarsak

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}4sin(n\pi x)e^(-4 n^2 \pi^2 t)$$
gibi bir sonuç buldum

---

$D_n$ ifadesinde $\sin(n\pi x)$ olmalı. $n$ indisi unutulmuş. Aynı şey $u(x,t)$ ifadesinde de var. Zaten son yazdığınız seri içerisinde $n$ indsi yok zaten; bir hata olduğu belli. Onlara dikkat ederseniz problem çözülmüş olacak.

---

Düzenledim umarım olmuştur

---

$D_n$'nin hesabına dikkat ediniz. Artık $\sin(n\pi x)$ var içeride. Ayrıca eksponansiyelde de $n^2$ olmalı. Yukarıda yazıyor ama son yorumda gitmiş.

---

Düzenledim şimdi

---

$D_n$'yi doğru hesapladığınıza emin misiniz? Ben Wolframalpha'yla yapmıştım. Zaten o bulduğunuzun değeri sıfıra eşit, değil mi? Hesaplaması zor değil ama Wolfram şöyle diyor:

$$D_n=-\frac{4}{n^3\pi^3}\left[1+2(-1)^n\right]$$

---

Hayır emin değilim.