Question

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\displaystyle\int_0^x1-\cos(t^2)dt}{x^2}$ limitini bulunuz.

 

Comments

Limit $\dfrac00$ cikar, L'Hospital kullanabilirsin. Eger integral $1-\cos(t^2)$ ise integral alamazsiniz. Oyle  analitik bir fonksiyon yok ki turevi $\cos(t^2)$ olsun.  Onun icin Kalkulusun Temel Teoremini kullanmalisiniz..

https://www.bilgicik.com/yazi/integral-hesabin-birinci-temel-teoremi/

---

bişey diyeceğim dediğiniz gibi L'Hospitali denedim ayrı etten birkaç yerden daha araştırdımda tam bişey elde edemedim yardımcı olurmusunuz daha doğrusu hiç ilerliyemedim ilk baş kısmını çıkartamıyorum

---

Payin turevi ndir?

---

tamamda öncelikle değişken değiştirme yapmıcakmıyız

---

-2cost x sint

---

Ustte paylastigim linke baktiniz mi?

---

Cozumunuz yanlis $\cos^2(t)\neq\cos(t^2)$

---

neyse çok teşşekür ederim uğraştığınız için çünkü kafamı çok karıştırdı soru zaten yapmamaya karar verdim çözmiyeceğim her şey için çok teşşekür ederimhakkınızı nasıl öderim bilmem çünkü çok yardımcı oldunuz

---

Cok kolay aslinda. Tanimi (genel hali degil ama bu isini gorur) ve bir basit ornegi gostereyim $F(x)=\displaystyle\int_a^xf(t)dt\implies F'(x)=\dfrac{d}{dx}\left(\displaystyle\int_a^xf(t)dt\right)=f(x)$

 

Ornek 1: $F(x)=\displaystyle\int_0^x(2t+t^2)dt\implies F'(x)=\dfrac{d}{dx}\left(\displaystyle\int_0^x(2t+t^2)dt\right)=2x+x^2$

 

Ornek 2: $F(x)=\displaystyle\int_0^x(\ln t +\sec t)dt\implies F'(x)=\dfrac{d}{dx}\left(\displaystyle\int_0^x(\ln t +\sec t)dt\right)=\ln x +\sec x$

Yani senin sorun icin $f(t)$  de $t$ yerine $x$ koyacaksin bu kadar.

---

$F(x)=\displaystyle\int_0^x (1-\cos(t^2))dt⟹F'(x))=\dfrac{d}{dx}\left(\int_0^x (1-\cos(t^2)) dt \right)=1-\cos(x^2)$

daha sonra

$=\displaystyle\lim_{x\to0}  \dfrac{1-\cos(x^2)}{2x}=?$

bunu elde edip belirsizlik geçene kadar L'Hopitalmi alacağım

---

Evet oyle, biraz duzenledim. Cunku zaten LH yaptin bir defa, (ustun turevi)/(altin turevi)

Answer 1

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\displaystyle\int_0^x1-\cos(t^2)dt}{x^2}=\dfrac00$

$\overset{L'H}\implies\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\dfrac{d}{dx}\left(\displaystyle\int_0^x1-\cos(t^2)dt\right)}{\dfrac{d}{dx}(x^2)}\overset{KTT}=\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos(x^2)}{2x}=\dfrac00$

$\overset{L'H}\implies\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin(x^2)(2x)}{2}=0$

 

$^*KKT=\text{Kalkulusun Temel Teoremi}$