Newton'ın İnek Problemi

Question

Problem: $75$ inek $12$ günde $60$ dönümlük bir merada otlayabiliyor ve $81$ inek $15$ günde $72$ dönümlük bir merada otlayabiliyor. Kaç inek $18$ gün içinde $96$ dönümlük bir merada otlayabilir? (Newton)

 

 

Dipnot: Bu soru, Crux dergisinin 1975'de yayınlanan ilk sayısının ilk problemidir ve kaynak olarak Newton gösterilmiştir. Newton soruyu sorarken, bazı ön bilgiler iyi biliniyor olsa gerek ki açıklama ihtiyacı görülmemiş. Bu bilgileri verirsek problem bağlamından kopmamış olur: Merada otlar sürekli biçimde büyümekte ve büyüme hızı da sabit olarak düşünülmelidir.

Comments

bir inek bir günde $y$ yesin ve otlar günde $x$ büyüsün. yani bir günde $x$ büyüdü ama $y$ yendi. o zaman 12 günde $12x$ büyür $12y$ yenir. $12(x-y)$ ot var. ($x$ i dönüm olarak düşünürsek akla daha çok yatıyor)

$60+12x-75.12y=0$

$72+15x-75.15y=0$

yöntem doğruysa x ve y yi bulup sonuca ulaşabiliriz sanırım. newton'a layik bir çözüm olmadı sanki

---

Bu tür bir işlem sonuç getirecektir. Newton da sayı problemi yazmış çözmüş zamanında :) Çözümünüzü tamamlayıp gönderebilirsiniz.

Answer 1

$1$ inek günde $x$ birim ot tükestin, $1$ dönümde günde $y$ birim ot üretilsin. Ayrıca başlangıçta $1$ dönümde $z$ birim ot bulunduğunu kabul edelim. $z=1$ veya $z=1000$ gibi sabit bir değer alarak problemin çözümüne devam edilebilir, sonucu etkilemeyecektir. Ayrıca $n$ tane inek $18$ günde $96$ dönümlük merada otlamış olsun. $n$ değerini arıyoruz.

$$75\cdot 12 x = 60\cdot z + 12\cdot 60\cdot y$$ $$81\cdot 15 x = 72\cdot z + 15\cdot 72\cdot y$$ $$n\cdot 18 x = 96\cdot z + 18\cdot 96 \cdot y$$
İlk iki denkemden $x$, $y$ değerleri $z$'ye bağlı (veya $z$'ye özel bir değer vererek) çözülüp üçüncü denklemde yazılırsa $n$ değeri tek türlü çözülebilir. Fakat bir başka yaklaşım da aşağıdaki şekilde olabilir. Denklemleri

$$\left[ \begin{array}{ccc} 75\cdot12 & -12 & -60 \\ 81\cdot15 & -15 & -72 \\ 18\cdot n & -18 & -96 \\ \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array} {c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \left[ \begin{array} {c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right]$$

biçiminde yazalım. $z$ nin her pozitif değeri için denklem sistemi çözülebilir olduğundan katsayılar matrisinin determinantı $0$ olmalıdır.
$$\left| \begin{array}{ccc} 75\cdot12 & -12\cdot 60 & -60 \\ 81\cdot15 & -15\cdot 72 & -72 \\ 18\cdot n & -18\cdot 96 & -96 \\ \end{array} \right| = 0$$ denklemiden $n=100$ bulunur.

Answer 2

Hocam

75 inek 12 günde 60 dönümlük

81 inek 15 günde 72 dönümlük ise

X inek 18 günde 96 dönümlük ise

Ben şöyle düşündüm gunler 3 er gün artmış aynı oranda dönümlük oranda artmış 60 dan 72 ye 12 artmış şimdi şöyle dusunelim 60 dan 96 ya 3 kere 12 artmış yani 75 inek 81 e 6 arttiysa 96 dönümlük bı araziye 75+6.3 kadar inek olur yani 93 inek gerekir hocam

Comments

Maalesef çözümünüz doğru değil. Dipnotta belirttiğim bilgilendirmeyi de kullanmalısınız.

---

Hocam kurdugum mantikda otlarin büyüme zamanını problemdekilerle ozlestiremiyorum aynı zamanda bı büyüme katsayısına yok

---

Şöyle bir giriş yolu söyleyebilirim:

 

$1$ inek günde $x$ birim ot tüketsin. $1$ dönümde günde $y$ birim ot üretilsin, diyerek başlanabilir. İki bilinmeyenli iki denklem kullanabilirsiniz.