Her kare matris, simetrik ve ters simetrik matrislerin toplamı şekilde yazılabilir.

Question

Teorem:Her kare matris, simetrik ve ters simetrik matrislerin toplamı şekilde yazılabilir.

İspat:

$A=\dfrac {1}{2}A+\dfrac {1}{2}A-\dfrac {1}{2}A^{T}+\dfrac {1}{2}A^{T}=\dfrac {1}{2}\left( A+A^{T}\right) +\dfrac {1}{2}\left( A-A^{T}\right)$

ispatta şu kısmı anlamadım. $A+A^T$ nin simetrik matris olduğunu nereden biliyoruz ? Aynı keza $A-A^T$ ters simetrik olduğunu

 

Comments

ek

$A-A^T$ diyagonal girdilerin 0 olduğunu bildiğimizi fark ettim.

---

Bir tane $2\times 2$ matris aldım sonuç tam istediğim gibi $n\times n$ için biraz düşüneyim

Answer 1

Soruyu kendi sordu kendi çözdü gibi oldu ama buraya yorum yazarken sorunun cevabını buldum.

Eğer $A=A^T$ ise matris simetriktir.

Eğer$-A=A^T$ ise matris ters simetriktir

şimdi , $(A+A^T)$ simetrik matris mi onu gösterelim.İfadenin transpozesini alırsak

$(A+A^T)^T=A^T+A = A + A^T$ , simetrik matris olduğu görülüyor.

$(A-A^T)$ ters simetrik matris mi? Yine transpozesini alalım.

$(A-A^T)^T$=$A^T-A$=$-(A-A^T)$ , ters simetrik olduğu görülüyor.