G grubunun elemanları negatif olmayan bir tamsayı ile çarpılıp oluşan kümenin hangi şartlarda G nin bir alt grubu olduğunun incelenmesi

Question

Her $G$ grubu ve Her $n\in N$ için  $nG=\{ ng : g\in G \}$ kümesini göz önüne alalım bu küme $G$  grubunun bir alt grubu mudur ?

   NOT: [ $N$ kümesi negatif olmayan tamsayılar kümesi ]

Comments

Sebebini anlayamadığım biçimde küme paratezi sembolleri  görünmüyor

---

Küme işaretlerinin latex kodunda özel bir görevi var. Parantez gibi düşün. Eğer küme işareti istiyorsan ya başına \ koyacaksın ya da kümeni \left\lbrace \right\rbrace arasına yazacaksın. Ikincisi işaretin boyunu da yazdığın şeye göre ayarlıyor.

Örnek:

$$\{ \int_a^b f \}$$

ve

$$\left\lbrace \int_a^b f \right\rbrace$$

---

Sorun $-g$ yi oluşturmakta.

$g$ torsiyon (torsion) ise yapabilirsin.

Değilse yapabilir misin?

(alt gruptan öte, $\mathbb{N}G$ tüm grup olmaz mı?)

Daha genel bir soru: Hangi $A\subseteqq G$ için $\mathbb{N}A$ bir alt grup olur?

---

Özgür hocam  yardımınız için çok teşekkür ederim

---

Merhaba Doğan hocam gerçekten güzel sorular , bu şekilde bakmamıştım olaya , yukarıda ki soruya bir çözüm yazma planım var ancak bu genel sorularda gerçekten cevaplanmaya değer çok teşekkür ederim bu harika oldu

Answer 1

Yanlış anlamadıysam $nG=\{g^n\mid g\in G\}$ kastediliyor, zira grup değişmeli değilse $ng$ elemanı çok anlamlı olmayabilir.

$n=1$ için durum açık, $1G=G$ zaten bir alt-grup. Lakin $n>1$ ise sorun çıkıyor. Örnek olarak $S_3$'ü alalım :

$S_3 = \{1,(12),(13),(23),(123),(132)\}$ ve $3S_3=\{1,(12),(13),(23)\}$ bir alt-grup değil. Buradaki problem, grup değişmeli değil ise $g^n*h^n$ elemanının bir başka elemanın $n$'inci kuvvetine eşit olduğundan emin olamamamız. Grup değişmeli ise $nG$'nin alt-grup olduğunu gösterebiliriz:

1) $1=1^n\in nG$

2)$g^n*h^n=(gh)^n\in nG$

3) $(g^n)^{-1}=(g^{-1})^n\in nG$