Question

otuz günde her gün en az bir hap içmek koşuluyla $45$ hap içen bir hastanın, içtiği hap sayısının toplam $14$ olduğu ardışık bir günler dizisi olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$S_i$, hastanın $i.$ güne kadar ($i.$ gün dahil) içtiği hap sayısı olsun. O zaman $$1\leq S_1\leq S_2\leq ... \leq S_{30} \leq45$$ Hasta her gün en az bir hap içtiği için bu dizinin artan olduğunu söyleyebiliyoruz. Şimdi tüm terimlere 14 ekleyelim : $$15\leq S_1+14\leq S_2+14\leq...\leq S_{30}+14\leq 59$$

Bu yeni dizi de artan bir dizi. Yani hepsi birbirinden farklı. Şimdi toplamda 1 ile 59 arasında 60 terimimiz oldu. Güvercin yuvası ilkesine göre en az iki terimimiz birbirine eşit. $S_i$ler ve $S_i+14$ler artan olduğu için birbirinden farklılar. Demek ki öyle bir $i,j\in \mathbb{N}$ var ki, $S_i=S_j+14$. Öyleyse $S_i-S_j=14$ ki bu da $i$ ile $j$ arasındaki ardışık günlerde toplam 14 hap içilmiş demek.

Comments

Tesekkur ederim. Guvercin yuvasiyla iliskilendirememistim. (Y)