Question

$A\subseteq\mathbb{R}$ ve $x\in\mathbb{R}$ olmak üzere

$$`` \ x\in D(A) \Rightarrow -x\in D(-A)"$$

önermesi doğru mudur? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Not:  $D(A):=\{x | x, A \text{`nın yığılma noktası}\}$ 

         $-A:=\{ -x | x\in A \}$  

Comments

$x \mapsto -x$ gönderimi sürekli bir involüsyon (iki kere uygulayınca birim fonksiyon, yani kendinin tersi). Bu yüzden bir homeomorfizma.

---

Soruyla alakasını çıkaramadım.

---

"Bir elemanın bir kümenin yığılma noktasında olması" homeomorfizma altında korunur (mu? Çok emin konuştum ama, korunur herhalde).

---

Sevgili HakanErgun, sorunun neresinde takildiniz? Sitedenin amacı insanların sorularını çözmekten ziyade, çözmelerine önayak olmak, onların çözebilir hale gelmesine yardımcı olmak. Bu nedenle, siz bir çaba göstermedikçe, yanıt verilmeyecektir. 

Belki siz kendi başınıza çaba gösermiş olabilirsiniz ama burada paylaşmadığınız sürece sizi çaba göstermemiş olanlardan ayıramayız. Buna ek olarak, kendi çabanızı gösterirseniz, yaklaşımınızdaki doğru ve yanlış noktaları size göstererek, size daha sağlıklı biçimde de yardımcı olabiliriz.

Sizin denemelerinizi görmek dileğiyle.

---

Öncelikle merhaba hocam. Elbetteki çabalarımı yazacağım sorduğum sorularda,fakat Özgür hocamın iddiası üzerinde düşünmem gerekiyordu ve boş vaktim olduğunda onun üzerinde yoğunlaşacaktım idrak etmeden birşeyler üzerinde fikir sahibi olmadan konuşmayı sevmiyorum. Homeomorfizm den bahsetti Özgür hocam benim içinde güzel bir farklı bakış açısı oldu zaten sorularımı yazarken farklı bakış açıları görmek için soruyorum gördüğüm zaman da neden böyle düşünmediği soruyorum. Öncelikle homeomorfizm den bahsettiği için elbetteki topolojik uzay dan yola çıkmalıyız burada bir şeyden bahsetmediğimiz için alışılmış uzayda çalışıyoruz. Özgür hocamın iddiası: 

$A,B \subseteq\mathbb{R}, x\in\mathbb{R}$ ve $f:A\to B$ bir fonksiyon olmak üzere

$(x, A \text{` nın yığılma noktası})(f, \text{homeomorfizma } ) \Rightarrow f(x), B \text{ ` nin yığılma noktası}$  

olduğunu yönünde ve buradan da önermenin doğru olduğunu kanısında ama ben daha bu önermeyi kanıtlamadım. 

Benim anladığım bunlar ve bunlar üzerinde düşüneceğim yanlış anladığım yer herhangi bir husus varsa elbette ki öğrenmek isterim.

---

Öncelikle söz edilen iddiayı daha formel biçimde ifade edelim ve tartışalım:

$A,B\subseteq\mathbb{R},x\in\mathbb{R},(A,\mathcal{U}_A) \text{ ve } (B,\mathcal{U}_B)$ topolojik uzay ve $f\in B^ A$ olmak üzere

Kanıt: $x, A$ nın yığılma noktası ve f homeomorfizma olsun.

$x,A \text{`nın yığılma noktası}\Rightarrow (\forall U\cap A\in\mathcal{U}(x)) \ (((U\cap A)\setminus \{x\})\cap A \neq \emptyset)$

$\Rightarrow$$\left.\begin{array}{rr} (\forall U\cap A\in\mathcal{U}(x)) \ ((U\cap A)\setminus \{x\}\neq \emptyset ))  \\ \\ (f,homeomorfizma)(f[U]:=V) \end{array}\right\} \Rightarrow   (\forall V\cap B\in\mathcal{U}(f(x))) \ ((V\cap B)\setminus \{f(x)\}\neq \emptyset )$ 

$\begin{array}{rcl} & \Rightarrow &  (\forall V\cap B\in\mathcal{U}(f(x))) \ (((V\cap B)\setminus \{f(x)\})\cap B \neq \emptyset ) \\ & \Rightarrow & f(x),B \text{' nin yığılma noktası.} \end{array}$

O halde sözü edilen iddia doğrudur.