a>0 olmak üzere y=3ax+4a² doğrusu ve y=x² Parabolü A ve B noktalarında kesişiyor.O(0,0) noktası olmak üzere AOB üçgenin alanı 10 br² olduğuna göre doğrunun denklemi nedir?

Question

Doğru ve parabol denklemlerini eşitledim.

3ax+4a²=x²

x²-3ax-4a²=0 => -a ve 4a noktalarında kesişiyorlar. 

y(-a)=a² ve y(4a)=16a²

A(-a,a²) ve B(4a,16a²) noktalarını elde ettim. 

Grafiği çizdim ama oluşan üçgenin alanını nasıl bulurum orada tıkandım. 

Comments

(D nin koordinatını yanlış yazmışım. Düzelttim)

$C(-a,0)$ ve $D(4a,0)$ noktaları olsun.

$DBAC$ dik yamuğunun alanını ($a$ cinsinden) bulabilir misin?

---

Hocam niye 2a?

---

D(4a,0) olduğunda oluşan dik yamuğun alanı :

(17a²\2).5a olur. 

---

(D nin birinci koordinatı 4a olacaktı. Düzelttim)

Bu dik yamuğu, biri alanı 10 olan üç üçgenin birleşimi olarak düşünüp, diğer iki üçgenin alanlarını bulabilir misin?

Gerisini de sen yapabilirsin.

---

Hocam alanı 10 olan üçgenin ve diğer iki dik üçgenin alanlarından yararlanarak 

10 + a³/2 + 64a³/2 = 85a³/2 eşitliğini yazdım. 

a burdan 1 çıktı, bu şekilde çözüme ulaştım. 

---

Çözümünü cevap olarak yazabilir misin ecerhan.

---

Teşekkürler hocam. 

Answer 1

C(-a,0) ve D(4a,0) noktaları olsun. 

DBAC dik yamuğunun alanı a cinsinden 

(17a²/2).5a olur.

Alanı 10 olan üçgenin alanını ve diğer iki dik üçgenin alanını kullanarak şu eşitliği yazalım. 

10 + a³/2 + 64a³/2 =85a³/2

20a³=20 => a=1 

Doğru denklemi de 3x+4 olur.

Answer 2

Diğer bir yaklaşım da, köşelerinin koordinatları $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$  olan $ABC$ üçgensel bölgesinin alanı:$s(ABC)$ ise

$s(ABC)=\frac 12 |x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|$ formülünü kullanmaktır. Verilen soru ya göre doğru ile parabolün kesim noktaları:  

$x^2=3ax+4a^2\Rightarrow x^2-3ax-4a^2=0\Rightarrow (x-4a)(x+a)=0$  den  $x=-a, x=4a$ olur.  O zaman üçgenin köşeleri  $A(-a,a^2),\quad B(4a,16a^2),\quad O(0,0)$  olacak ve  formül yardımıyla,

$10=\frac12 |-a(16a^2-0)+4a(0-a^2)+0(a^2-16a^2)|$

$10=\frac12 |-16a^3-4a^3|\Rightarrow 20=|-20a^3|\Rightarrow a^3=1,\quad a^3=-1$

 ve buradan da $a=1, a=-1$ bulunur. Ancak  soruda $a>0$ koşulu verilmiş olduğundan istenilen doğru denklemi :$y=3x+4$ olacaktır.

Not: Yukarıdaki formülde hesaplanan alan değeri sıfır çıkarsa verin üç noktanın doğrusal olduğu anlaşılır. Bu sebeple bu formül bazen düzlemde verilen üç noktanın doğrusal olup olmadığının ispatında da kullanılır.

Answer 3

$y$ ekseni bu üçgeni iki (eşit olmayan) parçaya bölüyor. Alanlarını bulup toplayacağız.

Taban olarak $y$ ekseni üzerinde kalan parçayı kullanacağız. Yükseklikler, $A$ ve $B$ nin $y$ eksenine uzaklıkları (=$x$ koordinatının mutlak değeri) olacaktır. ($a>0$ oluşundan)

Soldaki küçük üçgenin alanı$=\frac12(4a^2)a=2a^3$

Sağdaki küçük üçgenin alanı$=\frac12(4a^2)4a=8a^3$

Toplam alan$=10a^3=10$  dan $a=1$ bulunur.