Processing math: 7%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
3 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi

(Bu soru  ile ilişkili)

f:[a,b)R şeklinde bir fonksiyon ve f, (a,b) aralığının her noktasında türevlenebilir olsun.

Eğer 

lim ve f,\ a da sağdan sürekli ise

\displaystyle\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=L ( yani f nin a da sağdan türevi vardır ve L ye eşittir.)

olduğunu gösteriniz.

f nin a sağdan türevlenebilir olduğu ama \displaystyle\lim_{x\to a^+}f'(x) limitinin var olmadığı bir örnek bulunuz.

(benzer durum soldan türev ve  iki taraflı türev için de geçerli)

Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından  | 1.1k kez görüntülendi

İyi bilinen bir limit teoremini kullanarak bu iddianın ispatı çok kolay.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
f,\ a da sağdan sürekli olduğu için, (sağdan sürekli olmanın tanımı) \displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a) dır.

 Bu nedenle, \displaystyle\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} limitinde \frac00 belirsizliği vardır.

L' Hospital in Kuralını uygulamak istiyoruz.

\displaystyle\lim_{x\to a^+}\frac{\frac d{dx}(f(x)-f(a))}{\frac d{dx}(x-a)}=\lim_{x\to a^+}f'(x) olur. Kabulümüzden, bu limit L sayısına eşit idi. Öyleyse (L' Hospital in Kuralından)

\displaystyle\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=L olur.

Ama

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} x^2\sin\frac1x & , & x\neq0 \\  0 & ,  & x=0\end{array}\right. fonksiyonunda

f,\ 0 da süreklidir ve f'(0)=0 olur (sitede var) . Ama, x\neq0 için f'(x)=2x\sin\frac1x-\cos\frac1x olup \displaystyle\lim_{x\to0^+}f'(x), \displaystyle\lim_{x\to0^-}f'(x), \displaystyle\lim_{x\to0}f'(x) limitlerinin hiçbiri mevcut değildir. Bu fonksiyon için (f nin a da türevii var olup) yukarıda gösterilen eşitlik doğru olmaz
(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Teşekkürler, hocam.

Son üç satırda yazıları biraz değiştirdim.

20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,859,293 kullanıcı