$f,\ a$ da sağdan sürekli olduğu için, (sağdan sürekli olmanın tanımı) $\displaystyle\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)$ dır.
Bu nedenle, $\displaystyle\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ limitinde $\frac00$ belirsizliği vardır.
L' Hospital in Kuralını uygulamak istiyoruz.
$\displaystyle\lim_{x\to a^+}\frac{\frac d{dx}(f(x)-f(a))}{\frac d{dx}(x-a)}=\lim_{x\to a^+}f'(x)$ olur. Kabulümüzden, bu limit $L$ sayısına eşit idi. Öyleyse (L' Hospital in Kuralından)
$\displaystyle\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=L$ olur.
Ama
$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} x^2\sin\frac1x & , & x\neq0 \\ 0 & , & x=0\end{array}\right.$ fonksiyonunda
$f,\ 0$ da süreklidir ve $f'(0)=0$ olur (sitede var) . Ama, $x\neq0$ için $f'(x)=2x\sin\frac1x-\cos\frac1x$ olup $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f'(x)$, $\displaystyle\lim_{x\to0^-}f'(x)$, $\displaystyle\lim_{x\to0}f'(x)$ limitlerinin hiçbiri mevcut değildir. Bu fonksiyon için ($f$ nin $a$ da türevii var olup) yukarıda gösterilen eşitlik doğru olmaz