Kuvvet serisinde tam kare katsayılar

Question

Soru:

$$\dfrac{1}{1-x-x^2-x^3}=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$$ verilsin. Buna göre $a_n = (n+1)^2$ eşitliğini sağlayan tüm $n$ negatif olmayan tam sayılarını bulunuz.

Çözüm: 

$|r|<1$ iken $\dfrac{1}{1-r}=1+r+r^2+r^3+\cdots $ sonsuz geometrik seri toplamını biliyoruz. Buna göre

$$\dfrac{1}{1-(x+x^2+x^3)}=1+(x+x^2+x^3)+(x+x^2+x^3)^2+(x+x^2+x^3)^3+(x+x^2+x^3)^4+\cdots $$

yazılabilir. Kaba kuvvet hesaplama ile ilk terimler bulunabilir:

$$\dfrac{1}{1-(x+x^2+x^3)}=1+x+2x^2 + 4x^3 + 7x^4 + 13x^5+24x^6+44x^7 + 81x^8+149x^9 + 274x^{10} + \cdots $$

olup $n=0$ ve $n=8$ doğal sayı değerleri için $a_n = (n+1)^2$ eşitliği sağlanır. $n\geq 9$ için $a_n$ daha hızlı büyüdüğünden $a_n > (n+1)^2$ olur.

Not: Parantezleri açmak biraz zaman alsa da yapılabilir. Ben bu zamanı harcamak yerine wolframalpha'ya yazarak gerekli katsayıları elde ettim. Üretici fonksiyonlar kullanılabilir belki, sık kulandığım bir yöntem olmadığından ve paydadaki ifade tam sayılarda çarpanlara ayrılmadığından o yolun izlenebilirliğini üzerinde fazla düşünmedim. Daha farklı ve pratik bir yaklaşımı olanlar çözüm kısmına ekleyebilirler. Teşekkürler...

Comments

**işlem hatası yapmışım ** benzeri bir yöntem olabilir. 

İşleri hızlandır mı bilmiyorum ama x yerine ix yazarsak çarpanlara güzel ayrılıyor. Ordan karmaşık seri ile bulup ters dönüşüm ile kat sayılar bulunabilir. 

---

Fibonacci tarzı generator fonksiyon ile katsayılar bir dizi ile ilişkilendirikebilir. 

---

Dikkat ettiysen n. katsayıyı önceki üç katsayının toplamı veriyor. 

---

Teşekkürler Sercan bey. Ben de aynı noktayı düşünüyordum. Üretici fonksiyondan hareketle bir doğrusal indirgemeli dizi yazabiliriz. Katsayılar arasındaki ilişkiye dikkat etmemiştim. Dediğiniz gibi, ardışık üç terimin toplamı, bir sonraki terimi veren bir dizi olduğunu ispatladıktan sonra dizinin terimlerini hesaplamak (üç terimlilerin parantezini açmaya göre) çok pratik olacaktır. 

Answer 1

Doğrusal indirgemeli diziler ve bunların üretici fonksiyonları ile ilgili teoriyi kullanacağız:

Teorem: $P(x)$, $Q(x)$ iki polinom fonksiyon, $k=derQ>derP$ olsun. Bu durumda $$ \dfrac{P(x)}{Q(x)}= a_0 + a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots $$ üretici fonksiyonu yardımıyla tanımlı $(a_n)$ doğrusal indirgemeli dizisinin karakteristik polinomu $$ x^kQ \left(\dfrac{1}{x}\right) $$ biçimindedir.

Buna göre, $\dfrac{1}{1-x-x^2-x^3}$ için $Q(x)=1-x-x^2-x^3$ olup $(a_n)$ dizisinin karakteristik polinomu  $$x^3Q \left(\dfrac{1}{x}\right)= x^3-x^2-x-1 \tag{1}$$ olur. Dolayısıyla $n\geq 0$ için $$a_{n+3}=a_{n+2}+a_{n+1}+a_{n} \tag{2}$$ bağıntısı elde edilir. Tek ihtiyacımız olan dizinin ilk üç terimidir. $a_0=1, a_1=1, a_2=2$ olduğunu soru metninde verdiğimiz geometrik seri açılımından elde edebiliyoruz. Çok fazla üç terimliyi açmamıza gerek yoktur elbette:

$\dfrac{1}{1-(x+x^2+x^3)}=1+(x+x^2+x^3)+(x+x^2+x^3)^2+\cdots = 1+x+2x^2+\cdots $ bizim için yeterli olacaktır. Böylece $a_3=a_2+a_1+a_0 = 2+1+1=4$ olur. Diğer terimleri de $(2)$ indirgeme bağıntısından kolayca hesaplanabilir. Buradan

$$(a_n)=(1,1,2,4,7,13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, \dots ) \tag{3}$$

olur. Bu listeye göre $n\geq 9$ için $a_n> (n+1)^2$ dir. $0\leq n\leq 8$ için $a_n = (n+1)^2$ olan doğal sayı değerleri $n=0$ ve $n=8$ olarak elde edilir.

Notlar: Teoremin sunulduğu ve ispatlandığı kaynak burada Coursera sitesinden Evgeny Smirnov hocanın ders videolarıdır. Fakat teoremin yazılışında ufak bir sorun olmuştur. Karakteristik polinomun $Q(x)$ olduğu yazılmıştır. Geçen yıl dersleri takip ederken hatayı şurada bildirdim. Bu kursun öğretim sorumlusu Yulia Kotelnikova da itirazımın haklı olduğunu ifade etmişti. Yani karakteristik polinom, yukarıdaki teoremde ifade ettiğim gibidir.( Başka kaynaklar da kontrol edilebilir.) Teoriyle ilgili daha fazla bilgi için Evgeny Smirnov'un Enumerative Combinatorics ders videoları takip edilebilir.