Question

$(\sqrt{61}+1)^{61}-(\sqrt{61}-1)^{61}$ sayısının birler basamağı kaçtır? 

Comments

$n$ pozitif tek sayi ve $m \in \mathbb{Z^{\geq0}}$  olmak uzere

$(\sqrt{m}+1)^n=a+\sqrt{b}$

$(\sqrt{m}-1)^n=-a+\sqrt{b}$

$(\sqrt{m}+1)^n-(\sqrt{m}-1)^n=2a$

Cift sayi oldugunu soyleyebilirim :)

---

Olası durumları yarıya indirdin :) 

---

Neden altmışbir?

---

1 eksiği 10a bölünüyor. Trabzonluların sevgili sayısı vs. 

Answer 1

Yanıt: $\boxed{2}$

$n\geq 1$ pozitif tam sayıları için $a_n=(1+\sqrt{61})^n + (1-\sqrt{61})^n$ kuralı ile tanımlı $(a_n)$ dizisini göz önüne alırsak bizden $a_{61}$ teriminin $10$ ile bölümünden kalan sorulmaktadır.

$r_1=1+\sqrt{61}$ ve $r_2=1-\sqrt{61}$ sayılarını kök kabul eden ikinci dereceden denklem $r^2-2r-60=0$ olduğundan doğrusal indirgemeli dizi teorisine göre $a_n=(1+\sqrt{61})^n + (1-\sqrt{61})^n$ dizisini $$a_{n+2}=2a_{n+1}+60a_n \tag{1}$$ biçiminde yazabiliriz. Burada $a_1=2$, $a_2=124$ tür. Buna göre $(1)$ denklemini $\mod 10$ içinde incelersek $n\geq 1$ için  $$a_{n+2}\equiv 2a_{n+1} \pmod{10} \tag{2}$$ olur. $(2)$ yardımıyla $(a_n)$ dizininin $\mod{10}$ içindeki değerlerini veren diziyi yazabiliriz ve $$(2,4,8,6,2,4,8,6,\dots ) \tag{3}$$ biçiminde periyodu $4$ olan bir dizi elde ederiz. Buna göre $a_{61}\equiv a_1 \equiv 2 \pmod{10}$ olur.

Comments

Toplama yerine cikarma islemi sorulmus.. Zaten toplama ile tam sayi gelmiyor.. Cevap 2 olacak..

---

Ökkeş hocam merhaba,

$a_{61}=(1+\sqrt{61})^{61}+(1-\sqrt{61})^{61}=(\sqrt{61}+1)^{61}-(\sqrt{61}-1)^{61}$ olduğu için problem yoktur.

---

$n$ cift olamaz. $a_n=(\sqrt{61}+1)^{2n+1}-(\sqrt{61}-1)^{2n+1}$ seklinde tanimlanmali..

---

Soruda bir $(a_n)$ dizisi verilmedi ki. Onu ben tanımladım. Yazdığım dizi her $n$ pozitif tam sayısı için tamsayı sonuç veren bir dizidir. Bu dizinin $a_{61}$ terimi de soruda sorulan ifadeye karşılık geliyor. Nerede sorun gördüğünüzü anlayamadım gerçekten. 

---

$a_n=(\sqrt{61}+1)^{2n+1}-(\sqrt{61}-1)^{2n+1}$ seklinde dizi tanimlayalim.

Istenen $a_{30}\equiv  x\mod 10$

$a_n=\{8,2,8,2,8,2,\dots\}$ $\mod 10$

$a_{30}\equiv  2\mod 10$

---

Yaptiginiz hata $a_{61}=a_1=2$ olacak sanirim..

---

Tanımladığım dizide sorun yoktur. 

Şurada basit bir işlem hatam var. $61$'i $4$ ile böldüğüm zaman kalan $1$ dir. Ben kalanı $3$ yazdığım için $a_{61}\equiv a_3 \equiv 8 \pmod{10}$ veriyordu. $a_{61}\equiv a_1 \equiv 2 \pmod{10}$ olarak düzeltiyorum.

---

Cevaba değil de yönteme bakmıştım. Zaten cevap az çok teferruat. 

Answer 2

$(x+1)^{61}-(x-1)^{61}$ olarak bakarsak çift kuvvetli terimler kalır. Ayrıca $\sqrt{61} ^2$ mod $10$ altında $1$e denk olduğundan total olarak (çift binom terimleri toplamı gereği) ifade mod $10$ altında $2^{61}$e yani $2$ye denk olur. 

Comments

Telefondan bu kadar yazabildim. Detayların açık ve bariz olduğunu düşünüyorum.