Deney Tüpüne (Erlenmayere) Sabit Hızla Akan Su

Question

 

Taban yarıçapı $R_0$, tavan yarıçapı $r$ ($0<r_0<R_0$) ve yüksekliği $h_0$ olan kesik koni biçimli cismin üst kısmına $r$ yarıçaplı silindir boru eklenerek resimdeki bir deney tüpü (erlenmayer) oluşturulmuştur. Bu deney tüpü boş iken, birim zamanda sabit miktarda su akıtan bir musluk açılarak deney tüpü doldurulmaya başlanıyor. Deney tüpündeki suyun yüksekliğinin zamana başlı değişimini gösteren grafiği çizdiğimizi düşünelim.

Suyun yüksekliğinin $h_0$ olduğu anda yükseklik-zaman grafiğinin temsil ettiği fonksiyonun türevi olabilir mi? Türev var olacak biçimde $R_0,r_0,h_0$ sabit değerleri (varsa) bir örnek veriniz.

Answer 1

Kesik koniyi uzatarak tepe noktasına $O$ diyelim. $O$ noktasının $r_0$ yarıçaplı çemberin merkezine olan uzaklığı $l_0$ olsun. Benzer üçgenlerden

$$\dfrac{l_0}{r_0}=\dfrac{l_0+h_0}{R_0} \tag{1}$$ eşitliği vardır. $R_0,r_0,h_0$ birer sabit olduğundan $l_0$ da bir sabittir. Bir $t$ anında deney tüpündeki suyun hacmi $V$, üst yarıçap $r$, suyun yüksekliği $h$, $O$ noktasının $r$ yarıçaplı çemberin merkezine olan uzaklığı $l$ olsun. $$h+l = h_0 + l_0 \tag{2}$$ dır. Yine benzerlikten $$\dfrac{l}{r}=\dfrac{l+h}{R_0} \tag{3}$$ olup $l = \dfrac{(l_0+h_0)r}{R_0} \tag{4}$ elde edilir. Su sabit hızla aktığı için suyun hacmindeki anlık değişim $$\dfrac{dV}{dt}=C_1 \tag{5}$$ biçiminde bir sabittir.

Ayrıca $t=t_0$ anında üst yarıçap $r_0$ ve suyun hacmi $V_0$ ise $V_0$ bir sabittir. Yine yüksekliği $h_0+l_0$ ve taban yarıçapı $R_0$ olan tüm koninin hacmi olan $V_1$ de bu değerler türünden bir sabittir.

Şimdi $h\leq h_0$ iken suyun hacmine bakalım: $V=V_1 - \dfrac{\pi}{3}r^2 l$ dir. $(4)$ ten dolayı 

$$V=V_1 - \dfrac{\pi}{3}r^3\dfrac{(h_0+l_0)}{R_0} \tag{6}$$ elde edilir.

Böylece $\dfrac{dV}{dr}=  -\dfrac{\pi r^2(h_0+l_0)}{R_0}$ olup

$$\dfrac{dr}{dV}= -\dfrac{R_0}{\pi r^2 (h_0+l_0)} \tag{7}$$ elde edilir. $,l,r,h$ arasındaki bağıntılardan $h=\dfrac{(h_0+l_0)}{R_0}(R_0-r)$ olup $$\dfrac{dh}{dr}=-\dfrac{(h_0+l_0)}{R_0}\tag{8}$$ bulunur. Şimdi zincir kuralından $\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{dh}{dr}\dfrac{dr}{dV}\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{(h_0+l_0)}{R_0}\cdot \dfrac{R_0}{\pi r^2 (h_0+l_0)}\cdot C_1$ olup $$\dfrac{dh}{dt} =\dfrac{C_1}{\pi r^2}$$ elde edilir. $t\to t_{0}^{-}$ için $r\to r_{0}^{+}$ olup bu noktada soldan türev $$\dfrac{dh}{dt} =\dfrac{C_1}{\pi r_{0}^{2}} \tag{9}$$ bulunur.

Şimdi de $h\geq h_0$ iken suyun hacmine bakalım. $V = V_0 + \pi r_{0}^2(h-h_0) \tag{10}$ olur. $\dfrac{dV}{dh} = \pi r_0^2$ olduğundan

$$\dfrac{dh}{dV} = \dfrac{1}{\pi r_0^2} \tag{11}$$ dir. Yine zincir kuralından $\dfrac{dh}{dt} = \dfrac{dh}{dV} \dfrac{dV}{dt}$ olup $\dfrac{dh}{dt} =\dfrac{C_1}{\pi r_0^2}$ elde edilir. Bu değer bir sabit olduğundan $t\to t_0^{+}$ için de sağdan türev $\dfrac{dh}{dt} =\dfrac{C_1}{\pi r_0^2} \tag{12}$ aynıdır.

$t=t_0$ noktasında sürekli olan $h=h(t)$ fonksiyonunun sol ve sağ türevleri eşit olduğundan $h'(t_0)$ daima vardır ve

$$h'(t_0)=\dfrac{C_1}{\pi r_0^2}$$ değerine sahiptir.

Comments

Tebrikler hocam güzel çözmüşsünüz

Answer 2

Merhabalar hocam ben şöyle düşündüm:

Şimdi (dh/dt)/ zaman grafiği için konuşursak (dh/dt)/Zaman grafiği sadece kesit alanına bağlı hatta kesit alanıyla ters orantılı diyebiliriz. Aynı zamanda kesit alanı/zaman grafiğinin her h yüksekliği için sürekli olduğunu da söyleyebiliriz sonuçta şeklimizde hiçbir atlama veya ani bir kesit alanı büyümesi yok.

Şimdi kesit alanı/zaman grafiğimiz her noktada sürekli ise sadece bu grafiğe bağlı olan (dh/dt)/zaman grafiğimiz de her noktada türevlidir.

O zaman (dh/dt)/zaman grafiği her noktada sürekliyse h/t grafiği de her noktada türevlidir.

Yani herhangi bir kaba su dolduruyorsak kabın kesit alanında ani bir değişim yoksa kesinlikle yükseklik/zaman grafiği her noktada türevlidir gibi bir sonuç çıkıyor buradan ancak sonuçta ben de öğrenci olduğum için çözümümden tam emin olamıyorum. Yani daha bilgili biri yaklaşımımı incelerse güzel olabilir

Comments

Fonksiyonun sürekliliği ile ilgili endişem yoktur. Çünkü su akışı sürekli olduğu için yükseklikte ani bir sıçrama olmamalı. Bu da sürekliliği gerektirecektir. Yine de en sağlıklı işlem parçalı bir fonksiyon yazmaktır. Ben her zaman türevli bir fonksiyon oluşacağını düşünmüyorum. Türev olup olmayacağının kararını fonksiyonun denklemine baktıktan sonraya bırakmak doğru olur. Sezgilerimiz yanıltıcı olabilir.

---

f '(x) fonksiyonu her noktada sürekliyse f(x) fonksiyonu her noktada türevlidir

sürekli olan denklem (dh/dt)/zaman grafiği olduğu için h/t grafiği her noktada türevlidir

diyemez miyiz

---

Teorem şu şekildedir.

Teorem: $f$ fonksiyonu bir $x_0$ noktasında türevli ise, $f$ fonksiyonu $x_0$ noktasında süreklidir.

Bu teoremin tersi doğru olmayabilir. Örneğin $\mathbb R$  de tanımlı $f(x)=|x|$ fonksiyonu $x_0=0$ noktasında süreklidir ancak türevli değildir.

Bir de $f'(x)$ yazmışsınız. $f(x)$ yazacaktınız da onu kazara mı yazdınız yoksa gerçekten $f'(x)$ mi yazmak istediniz? Çünkü $f'(x)$ ($f$ nin türevi) olup olmadığı bilgisine sahip değiliz.  

---

Yok benim demek istediğim şu f'(x) yani (dh/dt)/zaman grafiği her noktada sürekli ise buradan her noktada tanımlı olduğunu çıkarırız.

Aynı zamanda (dh/dt)/zaman grafiği yani f'(x) her noktada sürekliyse h/t grafiği yani f(x) her noktada türevlidir bunu çıkarırız

---

$f'(x)$ in her noktada tanımlı veya her noktada sürekli olup olmadığını bilmiyoruz. Problemde sorulan kısım da bu zaten.

$f'(x)$ in her noktada sürekli olduğu bilgisine sahip değiliz. Sadece $f(x)$ in sürekli olduğunu biliyoruz. 

---

Ben de zaten en başta f'(x) in her yerde sürekli olduğunu kesit alanı grafiğini ele alarak anlattım isterseniz bir daha bakın 

---

Çözümünüzde baktığımda kritik yaklaşım kesit alanın sıçrama yapmaması olarak görülüyor. Çünkü koninin denklemini hiçbir yerde kullanmadınız. Analiz sorularında, sözel ifadelerle açıklanınca ben o çözümden emin olamıyorum. Eğer çözümünüz doğru ise, sadece kesik koni + silindir için değil, genel olarak kesit alanında sıçrama olmayan herhangi bir katı cisim için de doğru olmalıdır. Bu iddia da ispatlanabilir belki. Yine de bu tür bir ispatta, kesit alanında sıçrama olmaması kavramını matematiksel olarak (örneğin $\delta - \epsilon$ kullanarak) tanımlamak gerekir. Aranan ispatı da matematik diliyle ifade ederek tamamlamak gerekir. Bunları nasıl yapacağımızla ilgili bir fikrim yok.

---

valla hocam ben de sadece 12. sınıf öğrencisiyim :( sadece sözel ifadeler yapabiliyorum kusura bakmayın

---

Ben matematik bölüm öğrencisi olduğunuzu düşünerek yazmıştım. Yine de tebrik ediyorum, iyi çalışmalar diliyorum.

---

sağolun hocam