$n^{30}+1$ sayılarının en küçük asal bölenleri

Question

Problem (Lokman Gökçe): $n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere $n^{30}+1$ sayısının en küçük asal böleni $p_n$ ise $$\sum_{n=1}^{102}p_n$$ toplamının $12$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$\textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 7 \qquad\textbf{c)}\ 8 \qquad\textbf{d)}\ 9 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Not: Problemin çözümü, etiketlerdeki ve buradaki fikirleri içermektedir.

Comments

Yanlis cevabi ekleyim:
$n$ tek bir sayi ise en kucuk asal boleni $2$ olur. $n$ cift ise en kucuk asal boleni altindaki mertebesi $60$ olur. Bu da bu asalin $60k+1$ fornumda oldugunu verir. Dolayisiyla istenen sayi  $$2\cdot 50+1\cdot 50 \equiv 6 \mod 12$$ denkliginde olur.

---

Teşekkürler Sercan bey, Cevabınız doğru ancak açıklamada eksiklik var. Mertebe neden $60$ olsun? $60$'ın diğer pozitif tam bölenlerinden biri olabilir mi? Olamazsa neden olamaz? Burayı da açıklarsanız çözümünüz tamamlanmış olacaktır. 

---

(Dedigin ile birlikte - dogal olarak) $60k+1$ kismi hatali. Bu nedenle yanlis cevap olarak gecirdim. $(n^{15})^4\equiv 1 \mod p$ olarak bakmak daha yerinde.

Mesela $n=2$ ise $2^{30}+1\equiv 2^{4\cdot 7+2}+1\equiv2^2+1\equiv 0 \mod 5$.

---

Sercan bey şöyle bir ipucu vereyim: mertebe ya $60$ ya da $12$ olmalıdır. Diğer bölenler mertebe olamaz. Bunu gösterirseniz yardımcı olacaktır.

---

2nin  mod5te mertebesi 4?

---

Mertebe 30un böleni olmayan ama 60nın böleni olan sayılar arasında olmalı. Hepsi 4ün katı. 4,12,20,60 olabilir. 4 olabiliyor. 

---

Evet, mertebe 12 ve 60 dışında 20 ve 4 olabiliyor. Bunları hatalı hesapladım. O halde soruyu düzenlemem gerekiyor.

Düzeltme yapıldı: Toplamın üst sınırı $100$ yerine $102$ yapılarak soruldu.

---

Wolfram bağlantısı... Basit bir yöntem göremedim. 

---

12den kalanları kümesinin eleman toplamı da sorulabilir. 

Answer 1

Hatalı Çözümüm: $n$ tek sayı ise $n^{30}+1$ çift sayı olduğundan en küçük asal böleni $2$ dir. Bu şekilde $51$ tane değer oluşacağından $n$ nin tek değerlerinin toplama katkısı $2\cdot 51 = 102$ dir.

Şimdi $n$ nin çift değerlerini inceleyelim. $n^{30}+1$ sayısını bölen en küçük asal sayı $p$ ise $n^{30}+1 \equiv 0 \pmod{p}$ olup $n^{30} \equiv -1 \pmod{p}$ ve $n^{60} \equiv 1 \pmod{p}$ elde edilir. Buradan $n$ nin $\mod{p}$ deki mertebesinin $60$ veya $60$'ın bir pozitif böleni olabileceğini anlarız. Öte taraftan bu mertebe $30$ veya $30$'un bir böleni olamaz. Dolayısıyla $1\leq n \leq 102$ çift sayısının $\mod{p}$ deki mertebesi $4, 12, 20, 60$ değerlerinden birine eşit olacaktır. Fermat teoreminden dolayı $n^{p-1}\equiv 1 \pmod{p}$ olduğunu biliyoruz. Böylece $4|p-1$, $12|p-1$, $20|p-1$ veya $60|p-1$ olur. Her durumda, bir $k_n\in \mathbb Z$ için $p_n=4k_n+1$ formundadır. Bu şekildeki $51$ tane sayının hepsini hata ile $4k+1$ ile göstererek çift $n$ ler için toplamı $51\cdot (4k+1)$ yazdım. Böylece $$\sum_{n=1}^{102} p_n = 102 + 51\cdot (4k+1) \equiv 9 \pmod{12}$$ elde ettim. Hatalı yanıtım $\boxed{C}$ oluyor.

Çözümün Doğru Biçimi: Çift $n$ değerleri için $p_n$ değerlerini ve bunların $\mod{12}$ deki değerlerini gerçekten bulmak gerekiyor gibi görünüyor. Sercan bey'in ilettiği wolframalpha bağlantısından faydalanarak $n=2,4,6, \dots, 100, 102$ için $p_n \pmod{12}$ dizisi

$$5, 5, 1, 5, 1, 5, 1, 1, 5, 1, 5, 1, 1, 5, 5, 5, 1, 5, 5, 1, 5, 1, 1, 5, 1, 5, 1, 5, 5, 1, 5, 5, \\ 1, 5, 1, 5, 5, 1, 5, 1, 5, 1, 1, 5, 5, 5, 1 , 1, 5, 1, 5$$ elde ediliyor. Tüm bunların toplamından $$\sum_{n=1}^{102} p_n \equiv 102 + 163 \equiv 1 \pmod{12}$$ bulunur. Doğru yanıt $\boxed{E}$ dir.

Comments

Bunları uğraşarak mod 12 olmadan da hesaplamak mümkün. Tabii bir döngüsellik gelmiyor gibi gözüküyor. 

Arada aklıma şu ilginç soru geldi. Bu hiç döngüsel gibi durmuyor. (çift n let için) yanyana ondalık gibi 12 tabanında yazsak irasyonel hatta aşkın olur mu?

Uğraşan olur mu bilmem ama manalı/manasız belli olmasa da ilginç bir soru. 

---

Son dizideki 1 ler  yerine sayının kendisi ($n^{30}+1$) olması gerekmez mi ? (1 asal değil)

---

Onlar mod 12 alınmış hali. Aralarında 61 ve 401 de var. Fakat mod olarak 1e ve 5e denkler. 

---

Evet, dikkat etmemişim.