Topolojik Gruplar arasındaki homomorfizmaların sürekliliği ile ilgili bir soru

Question

$G$ ve $H$ iki topolojik grup (topolojik uzay+çarpma ve tersini alma işlemleri sürekli olan gruplar) ve  $\phi:G\to H$ bir grup homomorfizması olsun.

Şu önerme doğru olur mu?

$\phi$ bir noktada sürekli ise sürekli dönüşümdür (=her yerde süreklidir)

Answer 1

Topolojik grupların sadece şu özelliğini kullanacağız:

$G$ bir topolojik grup ise (her $g\in G$ için)

 $L_g:G\to G,\ L_g(x)=gx$ (tersi $L_{g^{-1}}$ olan) bir homeomorfizmadır.

 (dolayısıyla açık dönüşümdür).

$\phi$, bir $g_0\in G$ noktasında sürekli ve $\phi(g_0)=h_0$ olsun.

$g_1\in G$ ve $V,\ \phi(g_1)=h_1$ i içeren ($H$ de) bir açık küme olsun.

$\phi(W)\subseteq V$ olacak şekilde, $g_1$ i içeren ($G$ de) bir $W$ açık kümesi bulacağız.

$L_{h_0h_1^{-1}}(V)=h_0h_1^{-1}V,\  h_0$ ı içeren açık bir kümedir.

Kabulümüzden dolayı,

$\phi(U)\subseteq h_0h_1^{-1}V$ olacak şekilde, $g_0$ ı  içeren bir $U$ açık kümesi vardır.

$W=L_{g_1g_0^{-1}}(U)=g_1g_0^{-1}U$ olsun.  $W,\ g_1$ i içeren bir açık kümedir.

$\phi$ bir grup homomorfizması olduğu için,

$\phi(W)=\phi(g_1g_0^{-1}U)=h_1h_0^{-1}\phi(U) \subseteq h_1h_0^{-1}(h_0h_1^{-1}V) =V$ olur.

Bu da $\phi$ nin $g_1$ de sürekli olduğunu gösterir.

$g_1,\ G$ nin herhangi bir elemanı olduğu için, $\phi$ bir sürekli dönüşümdür.