$H$ bir grup ve $H\leq \mathbb{C}$ olduğunu gösterin.

Question

$H=\{ 3a+b\sqrt {3}i,a,b\in \mathbb{Z} ,a\equiv b\left( 2\right) \}$

$H\leq \mathbb{C}$ olduğunu gösterin ve $\varphi$ şöyle tanımlanıyor.

$\begin{aligned}\varphi : <H,+ >\rightarrow  <\mathbb{Z} ,+\rangle \\ 3a+b\sqrt {3}i\rightarrow \dfrac {3a-b}{2}\end{aligned}$ 

$\ker \varphi =?$

Soruyu çözerkenki adımlarımı buraya yazıyım. $H$ toplamaya göre grup olduğundan $a+b\in H$ ve $a^{-1}$ mevcut mu diye bakmalıyım.

$a_{1},b_{1},a_{2},b_{2}\in \mathbb{Z}$ öyle ki $a_{1}\equiv b_{1}\left( 2\right) ,a_{2}\equiv b_{2}\left( 2\right)$

$\left( 3a_{1}+b_{1}\sqrt {3}i\right) +\left( 3a_{2}+b_{2}\sqrt {3}i\right) =3\left( a_{1}+a_{2}\right) +\left( b_{1}+b_{2}\right) \sqrt {3}i\in H$

$\begin{aligned}3a+b\sqrt {3}i+d=0\\ d=-3a-b\sqrt {3}\in H\end{aligned}$

kernel için :

$\ker \varphi :\{ x\in G,\varphi \left( x\right) =e_{H} \}$

$\begin{cases}\varphi \left( x\right) =0\\ \dfrac {3a-b}{2}=0\\ 3a=b\end{cases}$ 

Bunları yaptım fakat bunları gösterirken bir eksik veya yanlışlık mevcut mu ? Kernel için $3a=b$ yeterli mi?

Comments

Aslında yarım kalmış. Evet $3a=b$ dir. $3a=b$ olması $a \equiv b (2)$ olması durumunu bozmuyor. O zaman $ker(\varphi) = \{ 3a+3a\sqrt{3} i ~~, ~~ a\in \mathbb{Z} \}$ olduğunu görürüz. Bu küme de $"3+3\sqrt{3} i"$ tarafından üretiliyor. Yani $ker(\varphi) = <3+3\sqrt{3} i>$ dersek doğru olur sanırım.

ufak bir düzeltme: $\ker \varphi :\{ x\in G, \varphi \left( x\right ) = e_{H} \}$ değil de $\ker \varphi :\{ x\in H, \varphi \left( x\right ) = e_{\mathbb{Z}}=0 \}$ dersek doğru olur. $\varphi$ nin görüntüsü $\mathbb{Z}$ de çünkü.

---

altgrup göstermede bir hata bulunmuyor dimi ?