Teorem (Artan Fonksiyonlar İçin Young Eşitsizliği): f gerçel değerli fonksiyonu, c>0 için [0,c] aralığında sürekli, kesin monoton artan ve f(0)=0 olsun. Bu durumda her a∈[0,c], b∈[0,f(c)] için ab≤∫a0f(x)dx+∫b0f−1(x)dx olur. Ayrıca eşitlik durumunun sağlanması için gerek ve yeter şart f(a)=b olmasıdır, ispatlayınız.
Not: p>1 olmak üzere f(x)=xp−1 fonksiyonu x≥0 kümesinde sürekli, kesin monoton artan ve f(0)=0 olduğundan yukarıdaki teoremin şartları sağlanmaktadır. 1p+1q=1 olmak üzere f−1(x)=xq−1 ters fonksiyondur. Buradan ab≤app+bqq Young Eşitsizliği elde edilir. Dolayısıyla yukarıdaki teorem, daha genel bir ifadedir. Young Eşitsizliği'nin diğer ispatlarına buradan ulaşabilirsiniz.