Question

$T_0 , T_1$ ve $T_2$ uzayları ile kompakt uzaylar arasında kıyaslanabilir topolojiler için bir fark var mıdır?  Varsa nasıl bir fark vardır açıklayınız.

Comments

Sonlu her uzay kompakttır. Ama sonlu olmak diğer özellikler için yeterli değil. Bu yeterli olur mu? 

---

Bu dediğiniz ifade doğru Özgür hocam ama benim sorumda kıyaslanabilir topolojiler için bir fark var mıdır diyor? Şimdi kıyaslanabilir topolojiler  dediğine göre o zaman daha ince ya da kaba(veya ince ya da daha kaba) cümlelerini kullanabiliriz.Bu dediklerimizi şöyle matematiksel olarak ifade edelim:

$(X,\tau_1) ,(X,\tau_2)$ topolojik uzaylar olmak üzere

$\tau_1\subseteq\tau_2$ olduğunda $\tau_2,\tau_1$ e göre daha ince bir topoloji (veya $\tau_1,\tau_2$ ye göre daha kaba bir topoloji ) olur.

Şimdi sorumuza gelelim:

Eğer bir topolojik uzay  daha ince bir topolojide kompakt uzay ise daha kaba olan bir topolojide de kompakt uzaydır (bunun kanıtı sitede mevcut) diğer taraftan daha kaba bir topolojide $T_1,T_2$ veya $T_3$ uzayı olan bir topolojik uzay daha ince bir topolojide de $T_1,T_2$ veya $T_3$ uzayı olur.

Kompakt uzay ile ayırma aksiyomları ($T_1,T_2$ ve $T_3$) kıyaslanabilir topolojiler için bu yönden farklıdır.

---

Aha, ben soruyu anlamamışım. 

---

İşte bu yüzden hocam herkes tarafından aynı şekilde anlaşılması için ifadeleri formal biçimde vermek daha mantıklı:

$(X,\tau_1),(X,\tau_2)$ topolojik uzaylar olmak üzere

$``((X,\tau_1),T_2 \ \text{uzayı})(X,\tau_1-\text{kompakt})(\tau_1\subseteq\tau_2)$ $$\Rightarrow$$ $\ \ ((X,\tau_2),T_2 \ \text{uzayı})(X,\tau_2-\text{kompakt})"$ önermesi doğru mudur? Yanıtınız kanıtlayınız.

Buradan bu ifade için ters bir örnek bulup artık kendi çıkarımlarımızı yapacağız örneğin $\tau_1,\tau_2$ ye göre daha kaba olduğu için üstteki verdiğimiz bilgilerden $T_2$ olacağını anlayacağız fakat kompakt olmayacak onun için örnek bulmamız gerekecek.

---

Konuşunca anlaşıyoruz ya, ben o formel biçimleri daha da hiç anlayamıyorum :)

---

İşte matkafasının da güzel bir yanı burası hocam farklı yazılış biçimlerini görme fırsatımız oluyor.