taban ve tavan üçgenleri eğimli olan üçgen prizmanın hacmi nasıl hesaplanır?

Question

Taban ve tavan üçgenleri eğimli olan üçgen prizmanın hacmini hesaplamaya çalışıyorum. Sinüs alan teoremi ile taban ve tavan üçgen alanlarını hesapladım. İki alanın ortalaması ve prizmanın üç farklı dikey uzunluğunun ortalamasını alıp çarptım. Bu hesap doğrumu?

Bunun ile ilgili olarak Üçgenin iç açıları ,ikinci boyuttan üçüncü boyuta geçerken üçgenin eğiminden dolayı değişir mi?

Cevaplarsanız sevinirim :)

Answer 1

Bu hesap hacmi tam olarak değil ancak yaklaşık olarak verir.

Tam hacmi hesaplamadığını şu örnekle görebiliriz:

Taban alanı $a$ olan $ABCD$ üçgen piramidini düşünelim. 

(soruda piramit değil prizma denmiş ama prizma için doğru olsa piramit için de doğru olması gerekirdi)

ABC taban, ACD üst taban ve BD tabana dik ve ABC düzlemi ile ACD düzlemi arasındaki açı $\theta$ olsun. Taban (ABC üçgeni) alanı $a$ ise ACD (üst taban) üçgeninin alanı $a\sec\theta=\frac a{\cos\theta}$  olur. 

Bu hesap, bize $\frac12(a+\frac a{\cos\theta})\cdot\frac h3=\frac {ah}6(1+\frac 1{\cos\theta})$ sayısını verir.

Oysa ki gerçek hacim =$\frac13ah$ dir.

İkisinin eşit olmadığı açıktır. (Kullanılan formül gerçek hacimden daha büyük sayı veriyor)

Comments

Diğer soru için:

Üçgenin iç açıları toplamı yine aynı kalır, çünki, her üçgen zaten bir düzlemde kalır.

---

Burada, iki üçgen düzlemi  arasındaki açı ölçüsü olan $\theta$ 'nın  ölçek açı ölçüsü olduğu unutulmamalıdır.