$2^{\sqrt {2}} = ?$ ve $\left( -1\right) ^{\sqrt {2}}=?$

Question

$2^{\sqrt {2}} = ?$

aynen şunları yaptım 

$\begin{aligned}2^{\sqrt {2}}\ = x\Rightarrow \ln 2^{\sqrt {2}}\ = ln x\Rightarrow e^{\ln 2^{\sqrt {2}}=x}  \Rightarrow e^{\sqrt {2}\ln 2}=x\end{aligned}$ 

en son buraya kadar geldim ve kaldım. Bu işlemlerin devamı geliyor mu ?

$\left( -1\right) ^{\sqrt {2}}=?$

Bu soru içinde 

$\left( -1\right) ^{\sqrt {2}}=x\\ln \left( \left( -1\right) ^{\sqrt {2}}\right)  =lnx\Rightarrow e^{\sqrt {2}\ln \left( -1\right) }=x$

$\ln \left( -1\right) =\ln \left| -1\right| +i\cdot Arg\left( -1\right) =\ln 1+i\pi = i\pi$

$ln(-1)$ i yerine yazdığımda ; 

$e^{\sqrt {2}\cdot \left( i\pi \right) }=x$

bu formülden $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

$e^{\sqrt {2}\pi i}=\cos \left( \sqrt {2}\pi \right) +i\sin \left( \sqrt {2}\pi \right)$ buldum ama yaptıklarım doğru mu ? Eksiklik var mı ?

Comments

Ilk soruda amaciniz ne? Reel sayi zaten. Ikinci sorunun cozumu dogru. Ikinci soruda notasyon hatasi var. $\ln^\sqrt{2}(x)=(\ln(x))^\sqrt{2}$. Soyle yazmaniz daha dogru. 

$x=(-1)^{\sqrt{2}}\Longrightarrow \ln(x)=\sqrt{2}\ln(-1)\Longrightarrow e^{\ln(x)}=e^{\sqrt{2}\ln(-1)}\Longrightarrow x=e^{\sqrt{2}\ln(-1)}$

---

Haklısınız yazım hatası olmuş. ilk soru için bir sonuç elde etmek istemiştim ama sadece 

$2^{\sqrt {2}}=e^{\sqrt {2}\ln 2}$ bunu buldum buda zaten çok açık değil mi ?

Answer 1

Genelde yapılanlar doğru, sadece, ikinci üs genelde "çok değerli" kabul edilir:

Karmaşık sayılarda logaritma genellikle "çok değerli" olarak tanımlanır, bunun sonucu olarak, üsler de (çoğu zaman, her zaman değil) çok değerli olur.

$\log z=\ln|z|+i\arg z$ tanımında, $\arg z$ nin sonsuz çoklukta değeri vardır. ($\arg z=\theta_0+2n\pi,\quad n\in\mathbb{Z})$.

Bu durumda:

$(-1)^{\sqrt2}=e^{\sqrt2\log(-1)}=e^{\sqrt2(2n+1)\pi i} \quad (n\in\mathbb{Z})$ olur. Sonsuz farklı değere sahiptir. 

(Argumentlerden biri (genellikle $(-\pi,\pi]$ aralığında olanı) seçilip, ona "esas" argument adı verilir, esas argüment kullanarak bulunan (logaritmaya ve) üsse "esas değer" adı verilir)

Comments

$e^{\sqrt2log(-1)}$yerinde $e^{\sqrt2ln(-1)}$ olmalı değil mi? Birde $log(-1)$ ya da $ln(-1)$ tanımlı mı?

---

Kompleks Analiz ile uğraşanlar $\ln$ yerine $\log$ kullanıyorlar genellikle. O nedenle öyle yazdım.

Elbette $\forall x\in\mathbb{R}^+$ için $\log x$ in esas değeri $\ln x$ ile aynı olur.

(Ek: $\ln:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}$ olarak düşünüyorum)

---

Hocam ben $ln(-1)$ in ya da $log(-1)$ 'in tanımlı olup olmadığını sordum.

---

Benim kullandığım (ve yazdığım) şekli  ile:

$\ln:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ olarak tanımlanır, $\ln(-1)$ tanımsız olur.

$\log:\mathbb{C}\setminus \{0\}\to\mathbb{C}$ olarak tanımlanır ve $\log(-1)=i(2n+1)\pi\quad(n\in\mathbb{Z})$ olup çok değerlidir.

Esas değeri $\textrm{Log}\,(-1)=\pi i$ dir. 

(argüment ve logaritmanın esas değerini belirtmek (diğer logaritma fonksiyonlarından ayırmak) için büyük harf kullanmak yaygındır)

$\textrm{Log}:\mathbb{C}\setminus \{0\}\to\mathbb{C}$ fonksiyonu, negatif gerçel sayılarda tanımlı ama süreksizdir. Sanırım Mehmet Toktaş bunu kastediyor.