$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {3\cdot \ln x}{\ln \left( x+5\right) }$ değeri kaçtır?

Question

$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {3\cdot \ln x}{\ln \left( x+5\right) }$ 

Bu soruda limiti bulabilmek için $\log x+5^{x}$  ifadesinde sıkıştırma teoremini kullanmaya çalıştım.Fakat cevaba ulaşamadım.

Comments

L'H deneyebilirsin.

---

Illa Sıkıştırma teoremi kullanacaksak x>5 iken ln2+lnx=ln(2x)>ln(x+5) gibi bir eşitsizlik kullanabilirsin. 

---

Payda $\log(x+5)$ mi $\log (x+5^{x})$ mi?

---

(x+5) mı log (x+5x) mi

---

Benim anladigim kadariyla $\ln$lerden kurtulup sade bir ifade olarak $\log_{x+5}x$ yazmaya kalkismis.

Answer 1

$\ln$ artan bir fonksiyon oldugundan $x\ge 5$ icin $$0<\ln x \le \ln (x+5) \le \ln(2x)$$ esitsizligi saglanir. Buradan $$\frac{\ln x}{\ln2+\ln x}\le \frac{\ln x}{\ln(x+5)}\le 1$$ esitsizligini elde ederiz. Buradan da sonuc gelir.

Answer 2

L'Hospital in kuralı ile çok kolayca bulunuyor.

Onu kullanmadan, şöyle yapılabilir.

$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln x}{\ln(x+5)}=1$ olduğunu gösterelim, gerisi çok kolay olacaktır.

$\frac{\ln x}{\ln(x+5)}-1=\frac{\ln x-\ln(x+5)}{\ln(x+5)}=\frac{\ln \frac{x}{x+5}}{\ln(x+5)}$

$\lim\limits_{x\to\infty}\frac x{x+5}=1$(kolay)

$\ln 1=0$ ve $\lim\limits_{x\to\infty}\ln(x+5)=\infty$ (ve bir limit teoreminden)

$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{\ln x}{\ln(x+5)}-1\right)=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln x-\ln(x+5)}{\ln (x+5)}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln \frac{x}{x+5}}{\ln(x+5)}=\frac0{\infty}=0$ elde edilir.

Sıkıştırma Teoremi ile,

$\frac{\ln x}{\ln(x+5)}-1=\frac{\ln x-\ln(x+5)}{\ln(x+5)}=\frac{\ln x-\ln (x+5)}{\ln(x+5)}$ 

Ortalama Değer Teoreminden, (Her $x>0$  için)  $\ln x-\ln(x+5)=-\frac{5}{c_x}$ ve $x<c_x<x+5$ olacak şekilde bir $c_x$ vardır. Bunlardan

$-\frac{5}{x\ln(x+5)}<\frac{\ln x-\ln(x+5)}{\ln (x+5)}<-\frac{5}{(x+5)\ln(x+5)}$ elde edilir.

$\lim\limits_{x\to\infty}-\frac{5}{x\ln(x+5)}=\lim\limits_{x\to\infty}-\frac{5}{(x+5)\ln(x+5)}=0$ oluşundan,

Sıkıştırma Teoreminden,

$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{\ln x}{\ln(x+5)}-1\right)=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln x-\ln(x+5)}{\ln (x+5)}=0$ elde edilir.