Polinomun derecesi üzerine tümevarım ile:
("P(k): derecesi ≤k olan tüm (sabit olmayan) polinomları bölen bir indirgenemez polinom vardır" önermesinini her k≥1 için doğru olduğunu göstereceğiz.
-
f(x1,x2,…,xn)∈F[x1,x2,…,xn] derecesi 1 olan bir polinom olsun. Bir polinomun derecesi doğal sayı olduğundan f(x1,x2,…,xn)=g(x1,x2,…,xn)h(x1,x2,…,xn) olacak şekilde g(x),h(x)∈F[x1,x2,…,xn] ve g(x1,x2,…,xn) ve h(x1,x2,…,xn) dereceleri<1 olacak şekilde iki polinom var olamaz. Öyleyse f(x1,x2,…,xn) indirgenemez polinomdur ve f(x1,x2,…,xn)∣f(x1,x2,…,xn) dir. P(1) doğrudur.
-
Bir k≥1 doğal sayısı için, P(k) doğru olsun.
f(x1,x2,…,xn) derecesi k+1 olan bir polinom olsun.
-
f(x1,x2,…,xn) indirgenemez ise, f(x1,x2,…,xn)∣f(x1,x2,…,xn) olduğu için f(x1,x2,…,xn) i bölen bir indirgenemez polinom vardır.
-
f(x1,x2,…,xn) indirgenebilir ise, f(x1,x2,…,xn)=g(x1,x2,…,xn)h(x1,x2,…,xn) olacak şekilde dereceleri 1≤degg≤k ve 1≤degh≤k olacak şekilde polinomlar vardır. Kabulümüzden, p(x1,x2,…,xn)∣g(x1,x2,…,xn) olacak şekilde en az bir indirgenemez p(x1,x2,…,xn) polinomu vardır. p(x1,x2,…,xn)∣f(x1,x2,…,xn) olduğu açıktır.
Tümevarım ilkesinden, iddiamızın doğruluğu gösterilmiştir.