Pozitif tam sayılarla ilgili bir soru

Question

a ve b pozitif tamsayılar olmak üzere,2006'dan küçük olup,

$\frac{a.b-2006}{a+b}$ şeklinde gösterilebilen kaç pozitif tamsayı vardır?

Bu soru 2006  yılında Antalya matematik olimpiyatlarında sorulmuştur.

Comments

Verilen ifadeyi $\frac{a.b}{a+b}-\frac{2006}{a+b}$ şeklinde yazarak $a+b$ nin hem $a.b$'yi hem de 2006'yı tam bölmesi gerektiğini düşündüm. $\frac{a.b}{a+b}$ 'nin tam sayı olması $a=b=2$ için  mümkün ama  o zaman da $\frac{2006}{4}$ tam sayı olmamakta. 

$2006=2.17.59$ olduğundan $a+b$ 'nin $2006$'yı tam bölmesi için $a+b=2,17,59$ olmalıdır diye düşündüm. Bu seferde $\frac{a.b}{a+b}$ tam sayı olmuyor. Nerede yanılıyorum acaba? 

Ayrıca $\frac{a.b}{a+b}$'yi tam sayı yapan $(a,b)$ ikililerinin sayısını nasıl bulabiliriz?

---

=n deyip $(a-n)\cdot(b-n)$ ile ilgilenilebilir. 

---

Hocam $\dfrac {a.b} {a+b}$ yi tam sayi yapan değerler dikkat edilirse aynı ve $2$ nin katları 

$a=b=2$

$a=b=4$

$a=b=6$

       ..

       ..

$a=b=2002$

$a=b=2004$      

---

@YusufKanat $(3,6)$ ikilisi verilen ifadeyi tam yapıyor ama senin söylediğin formda değil.

---

Evet haklisiniz o zaman $(3,6)$ yapıyorsa 

$(6,12),(12,24),(24,48),(48,96),(96,192),...,(1002,2004)$ 

yapıyor.

---

Evet.   $b=2a$ olmak üzere $(a,b)=(a,2a)$ şeklindeki sıralı ikililer işe yaradığı gibi $a=2b$ olan $(a,b)=(2a,b)$ şeklindekilerde yarıyor. Ayrıca $a.b-2006>0$ olduğu dikkate alınırsa bu ikililerdeki $a$ ya da $b$ değerlerinin $ab$ durumunda  $a.b=a^2>2006\Rightarrow  a>\sqrt{2006}$ olması, ve $a=2b$ durumunda $a>\sqrt{1003}$ olması gerekir.

---

İlk yorumumdaki temel yanlışlığı buldum. $\frac{a.b-2006}{a+b}$ bir pozitif tamsayı ise $a+b$ sayısı $a.b$'yi ve $2006$ 'yı ayrı ayrı tam bölmek zorunda değildir.  $1\leq n \leq 2005$ olduğundan  $n=1$ alınırsa $(a-1)(b-1)=2007=3^2.22$ olur. Buradan $(a,b)=(2,2008),(4,670),(10,224)$ olur. Aşağıda görüleceği gibi bu ikililerin hiçbirinde $\frac{a.b}{a+b}$ tamsayı değil ama farkları tam sayı.

$\frac{2.2008}{2+2008}=1,9980099502\qquad \frac{2006}{2+2008}=0,9980099502$

$\frac{4.670}{4+670}=3,9762611276\qquad \frac{2006}{4+670}=2,9762611276$

$\frac{10.224}{10+224}=9,5726495726 \qquad \frac{2006}{10+224}=85726495726$

Answer 1

Soru için şöyle bir çözüm verilmiş.

$\frac{a.b-2006}{a+b}=n$ olsun. Bu durumda $n.a+n.b=ab-2006$ eşitliğinden $b=\frac{n.a+2006}{a-n}$ olur. Burada $a-n=1$  yani  $a=n+1$ alınırsa, $b=a.n+2006=n(n+1)+2006$ olur. Bu şekilde alınmış $a$  ve $b$  pozitif tam sayıları için $n= \frac{a.b-2006}{a+b}$  olur.

Yani $a=n+1$ ve $b=n(n+1)+2006$ alınarak, tüm pozitif tam sayılar  $\frac{a.b-2006}{a+b}$ şeklinde gösterilebilir. 

Çözümde nasıl bulunduğu gösterilmemiş ama istenilen pozitif tamsayıların adedi 2005 olarak verilmiş.

Answer 2

Şöyle yapılabilir:

$\frac{ab-2006}{a+b}=n,\quad (1\leq n\leq2005)$ olsun.

Düzenlersek

$(a-n)(b-n)=2006+n^2$ elde ederiz.

Her $1\leq n\leq2005$ için $2006+n^2$ pozitif tamsayısının $2006+n^2=mk\quad m,k>0$ olarak (en az bir şekilde) tamsayıların çarpımı olarak yazılabilir.

$a-n=m,\ b-n=k$ yani $a=m+n,\ b=k+n$ pozitif tamsayılardır ve bu $(a,b)$ ikilisi için

$\frac{ab-2006}{a+b}=n$  oluyor. 

Öyleyse her $1\leq n\leq2005$ sayısını bu şekilde elde etmek mümkündür.

Mehmet Toktaş ın çözümü $m=1$ almak durumuna karşı geliyor.