Boyanmış doğru parçaları

Question

Uzayda herhangi üçü doğrudaş olmayan $N$ nokta var, her nokta ikilisi bir doğru parçasıyla birleştirilmiştir ve her doğru parçası mavi veya kırmızı renklerden birine boyanmıştır.

• tam olarak bir kenarı mavi olan üçgen
ve
• herhangi ikisi aynı renkli doğru parçasıyla birleştirilmiş 13 nokta bulunmuyorsa, $N$ en fazla kaç olabilir?

Answer 1

$A$ noktalar kümesinin bütün nokta ikililerini birleştiren doğru parçaları kırmızıysa $A$ kümesine $kırmızı$ bileşik küme diyelim. $A_{1}$ en fazla eleman içeren kırmızı bileşik küme olsun( kümelerdenbirini aldım).$A_{1}$ kümesi en fazla eleman içerdiğinden $A_{1}$ dışında herhangi bir c noktası $A_{1}$ in tüm noktalarına kırmızı doğru parçlarıyla birleşemez ve tam olarak bir kenarı mavi olan üçgen bulunmadığından c noktası $A_{1}$ in tüm noktalarına mavi doğru parçalarıyla birleştirilme zorundadır.Benzer şekilde her $k\leq2$ için $\left| U^{k}_{i=1}A_{i}\right| =N$ olanadek $\left| U^{k-1}_{i=1}A_{i}\right|$ kümesinin dışındaki noktalardan en fazla eleman içeren kırmızı bileşik $A_{k}$ kümeleri tanımlayalım. Yukarıda gösterildiği gibi, $A_{i}$ dışındaki her c noktası $A_{i}$ nin tüm noktalarına mavi doğru parçalarıyla birleştirilmiştir. Dolayısıyla her $i\neq j$ için $A_{i}$ ve $A_{j}$ nin noktaları sadece mavi doğru parçlarıyla birleştirilmiştir.Tüm nokta ikilileri aynı renkli doğru parçalarıyla birleştirilmiştir 13 nokta bulunmadığından $|A_{i}|\leq 12$ ve $k\leq 12$ elde edilir.Buradan $N\leq 12.12=144$. $|A_{i}|\leq 12$; $k=1,2,...,12$ durumunda $N=144$ oluyor.

Başka fikri olan var mı?