Question

(0,1) aralığından seçilen iki reel sayı X ve Y olsun X/Y sayısına en yakın tamsayının çift bir tamsayı olma olasılığını bulunuz

Comments

soru Putnam sorusu 

Answer 1

$Z=X/Y$ olsun. $Z$'nin dağılımını bulalım. $F(z)=P(Z\leq z)$, $Z$'nin bir $z$ sayısından küçük olma olasılığı olsun. Elbette $z\leq0$ için $F(z)=0$. Bundan sonra $z>0$ olsun.

$P(Z\leq z)=P(X/Y\leq z)=P(X-zY\leq 0)$ olasılığını bulmamız gerek. $X$ ve $Y$ $(0,1)$ aralığından rastgele seçilen sayılar. Bu $(X,Y)$ çiftini $(0,1)\times(0,1)$ karesinin içinde bir nokta ile gösterelim. Aradığımız olasılık, bu karenin içindeki rastgele bir noktanın, bir $z>0$ sayısı için $x-zy=0$ doğrusunun üst tarafında olma olasılığı. Yani karenin bu doğrunun üst kısmında kalan alanı. Bu alan, $z<1$ ise $\displaystyle \frac{z}{2}$'ye, $z>1$ ise $\displaystyle 1-\frac{1}{2z}$'ye eşittir.

Yani, $\displaystyle F(z)=\left\{ \begin{array}{ll} z/2,  & z<1 \\ 1-1/2z,  & z>1 \end{array} \right.$.

Şimdi bu $Z$ sayısına en yakın tamsayının çift sayı olmasını istiyoruz. Yani,

$P(Z<0.5)+P(1.5<Z<2.5)+P(3.5<Z<4.5)+P(5.5<Z<6.5)+\cdots$

$=F(0.5)+(F(2.5)-F(1.5))+(F(4.5)-F(3.5))+(F(6.5)-F(5.5))+\cdots$

$\displaystyle =\frac{1}{4}+\left(\frac{4}{5}-\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{8}{9}-\frac{6}{7}\right)+\left(\frac{12}{13}-\frac{10}{11}\right)+\cdots$

$\displaystyle =\frac{1}{4}+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{16k^2-1}$

Bu toplam nasıl bulunur bilmiyorum, ama yukarıdaki yorumlardan birindeki wolfram linkine bakarsak yanıt $\displaystyle \frac{5-\pi}{4}$ çıkıyor.

Comments

Teşekkürler cevap bu zaten. yukarıdaki eşitlik

$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}....=\frac{\pi}{4}$  olduğu için doğru

Answer 2

Bir bölü ikidir.

Comments

sebep?                      -i nedir acaba..

---

Her şey o kadar homojen ve simetrik ki!

---

$\frac{1/2}{1/8}\rightarrow 4$ ve $\frac{1/8}{1/2}\rightarrow 0$ ikisi de cift mesela. Ya da $\frac{1/2}{1/6}\rightarrow 3$ ve $\frac{1/6}{1/2}\rightarrow 0$, tersi sifira giden cok sayi olacaktir.

---

Şimdi burada olasılık derken neyi kast ettiğimizi iyice belirlemeliyiz. Sonuçta bir yoğunluktan söz ediyor olmamız gerek. Mesela diadic sayıları alalım. Bunlar (0,1) aralığında yoğunlar. Bunlar için olasılık hesaplayalım. Bunlar için de şöyle yapalım tabi. Diadic sayıları sıralayabiliyoruz. Sıralayalım ve ilk $2^n$ diadic sayıdan iki tane aldığımızda aralarındaki orana bakalım ve bu oranın $n$ artarkenki limitine bakalım. Diadic sayılar $\frac{a}{2^b}$ biçimindeki rasyonel sayılar. O halde ilk $2^n$ diadic sayı şudur: $$\frac{1}{2^n},\frac{2}{2^n},\cdots,\frac{2^n-1}{2^n}$$ Böylece soruyu ilk $2^n$ saıydan rastgele seçilen $a,b$ sayılarının oranının en yakın olduğu sayının bir çift sayı olmasının olasılığı nedir sorusunu bulmaya indirgemiş oluruz.

Bu da, birazcık örnek hesaplayınca, işlerin hiç de benim bilip bilmeden ilk başta verdiğim yanıttaki gibi basit olmadığını gösteriyor.

---

Güzel bir soru. Örneğin $\frac12<\frac xy<\frac32$ ise en yakın tamsayı 1.

Birim kare içinde, $\frac xy=\frac{2n-1}2,\ n=1,2,\dots$ doğruları arasında kalan sonsuz tane üçgenin (biri dörtgen ama o durumda en yakın tamsayı tek oluyor) (uygun olanların!) alanı toplanarak bulunuyor. 

---

Bir hata yapmadıysam, $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{16k^2-1}$ toplamına kadar indirgedim. Bu toplamı bulmanın bir yolu var mı? Varsa buraya kadar nasıl getirdiğimi yazayım.

---

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum&a=*C.sum-_*Calculator.dflt-&f2=2%2F(16n%5E2-1)&f=Sum.sumfunction_2%2F(16n%5E2-1)&f3=1&f=Sum.sumlowerlimit%5Cu005f1&f4=infinity&f=Sum.sumupperlimit2%5Cu005finfinity&a=*FVarOpt.1-_**-.***Sum.sumvariable---.*--