Avusturya Polonya Matematik Olimpiyatları 1988, Artan Fonksiyon Problemi

Question

Soru : Her $x,y\in\mathbb{R}$ için $f(f(x)+y)=f(x+y)+f(0)$ eşitliğini sağlayan tüm monoton artan reel değerli fonksiyonları bulunuz.

Çözüm : $f(f(x)+y)=f(x+y)+f(0)$ eşitliğinde $y=-f(x)$ yazarsak, $f(0)=f(x-f(x))+f(0)$ eşitliğinden $f(x-f(x))=0$ olur.

Bir $x_0\in\mathbb{R}$ için $x_0-f(x_0)=k$ olsun. $f(k)=0$ olur. $f$ monoton artan bir fonksiyon olduğundan $f$ fonksiyonu birebir olmalıdır. Dolayısıyla,

$f(x-f(x))=f(k)=0$ ise $x-f(x)=k$ olur. Böylece, herhangi $k\in\mathbb{R}$ için $f(x)=x-k$ bulunur.

Benim aklıma takılan $f$ fonksiyonunu birebir yapan neydi? $x_0-f(x_0)=k$ ve $f(k)=0$ oldu. ardından $x_0\not= x_1$ için $x_1-f(x_1)=l$ alalım o zaman $f(l)=0$ olur. Sonuçta $f(k)=f(l)$ olur. $k$ ve $l$'nin eşit olup olmadığını nasıl anladıkta fonksiyon birebir dedik ?

Comments

Burada 1-1 olmasının fonksiyonel denklem ile bir ilgisi yok.

Soruda, fonksiyonun "monoton artan" olduğu belirtilmiş. Onu düşün.

---

Fonksiyon monoton artansa

$x_1>x_2$ için $f(x_1)\ge f(x_2)$ olur. ama birebir olduğunu göstermek için $x_1>x_2$ için$f(x_1)>f(x_2)$ olduğunu göstermemiz gerekiyordu.

$x_1>x_2$ için $f(x_1)\neq f(x_2)$ neden oldu? 

Bunun $x_0-f(x_0)=k$ ise $f(k)=0$ olmasıyla bir alakası var mı ? Ben düşündüm ama pek anlamadım hocam açıkçası neden birebir olduğunu.

---

"artan" terimi ülkemizde iki farklı anlamda kullanılıyor. Bunlar:

1. $x>y$ olduğunda $f(x)>f(y)$ olması

ya da 

2. $x>y$ olduğunda $f(x)\geq f(y)$ olması

Birinci anlamda, istenen (fonksiyonun 1-1 olması) sonuç çıkar, ikinci anlamda ise çıkmaz.

Soruyu çeviren kişinin birinciyi kastettiği, orijinal soruya bakınca ("strictly" sözcüğünden) anlaşılıyor.