$V=[x^2,xy,z-2x^2]$vektörünün tanımladığı kuvvet alanında bir partikül $3x^2+y^2-a^2=z$ ve $x^2+3y^2-3a^2+z=0$ yüzeylerinin arakesiti olan eğri üzerinde $A(a,0,a^2)$ noktasından başlayarak bir tam devir yapmaktadır.Yapılan işi bulunuz.

Question

Rotasyonel sıfırdan farklı çıkıyor tam diferansiyel olmadığı için bir kuvvet fonksiyonu elde edemedim. yardımcı olabilirseniz sevinirim.  

Comments

Arakesit eğrisini parametrize etmeyi denediniz mi?

(Not: o nokta o yüzeyler üzerinde mi? $A(a,0,a^2)$ de bir yazım hatası var sanırım)

---

hocam soru bire bir yazdığım şekilde. noktayı o şekilde vermiş. silindirik koordinatlardan  çözüme gitmeye çalıştım. yapamadım. sizin takıldığınız noktayı tam olarak ben de anlayamadım. bu yüzden sordum. ilginiz için teşekkür ederim.

---

Arakesit eğrisini parametrize etmeyi denediniz mi?

İki denklemden $z$ yi yok ederek başlayabilirsin.

---

$A(a,0,2a^2)$ olunca arakesit eğrisi üzerinde oluyor.

Answer 1

$z=3x^2+y^2-a^2$, $z=-x^2-3y^2+3a^2$

${3x^2+y^2-a=-x^2-3y^2+3a^2} \Rightarrow {4x^2+4y^2-4a^2=0}$

$\Rightarrow {x^2+y^2=a^2}$ 

${x=a \cdot \cos t} \Rightarrow {dx=-a \cdot \sin tdt}$

${y=a \cdot \sin t} \Rightarrow {dy=a \cdot \cos t dt}$ 

$\begin{align}z&=3x^2+y^2-a^2=3 \cdot a^2\cos^2t+a^2 \sin^2t-a^2\\&=a^2(3\cos^2t+\sin^2t-1)=a^2(3\cos^2t-\cos^2t)=2a^2\cos^2t\end{align}$

$dz=-4a^2\sin t\cos tdt$ 

$T_{AB}=\int\limits_{a}^{b}\overrightarrow {X}dx+\overrightarrow {Y}dy+\overrightarrow {Z}dz$ 

$\begin{align}T_{AB}=\int\limits_{a}^{b}&[ (a^2\cos^2t)(-a\sin t)+(a\cos t)(a\sin t)(a\cos t)\\&+(2a^2\cos^2t-2a^2\cos^2t)(-4a^2\sin t\cos t)]dt\end{align}$ 

integralin içindeki ifadeler düzenlendiğim zaman $T_{AB}=\int\limits_{a}^{b} 0dt=0$ iş x birim 

olarak elde ettim. 

NOT: Latex kullanmayı bilmiyorum. Bu site sayesinde tanıştım ve bugün biraz kurcaladım.En azından düzenleme yapan arkadaşlara biraz kolaylık sağlarım düşüncesiyle bu kadar yazabildim. Anlayışınız için teşekkür ederim.

Comments

$\vec{T}\,dx=-3a^3\cos^2t \sin t$  oluyor (3 unutulmuş) sanırım.

---

çok özür dilerim hocam $\overrightarrow V$ vektörünün $\overrightarrow X$ bileşini $x^2$  olacak. düzelttim soruyu.