Euler $\phi$ Fonksiyonunun Özellikleri

Question

$\phi(n):=$n doğal sayısından küçükeşit n sayısı ile aralarında asal sayı sayısı olarak tanımlansın. Öyleyse

1-$n=p_1^{e_1}p_2^{e_2} \cdots p_n^{e_n}$ için  

$\phi(n)=n.(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2}) \cdots (1-\frac{1}{p_n})$

2-$\sum_{k/n}^n  \phi(k)=n$

3-$\sum_{(m,n)=1}^n m=\dfrac{n.\phi(n)}{2}$

4-$(a,n)=1$ ise $a^{\phi(n)}\equiv1(modn)$ olur.

Euler fonksiyonu hakkında bildiklerim bunlar ama başka özellikleride var galiba.bilmediğim (yazmadığım) özellikleri varsa yazabilir misiniz ? Eğer yapabilirsem kanıtlarınıda atmayı düşünüyorum.