Permütasyon Fonksiyonunun Bileşkesi

Question

Matematik ÖABT seviyesine uygun bir problem sunalım:

Problem: $A= \{1, 2, \dots , 10\}$ olmak üzere $f:A \to A$ biçimindeki bir $f$ permütasyon fonksiyonunda $\underbrace {fofo \cdots of}_{ n \text { tane}}=I$ olmasını sağlayan en küçük $n$ pozitif tamsayısı en fazla kaç olabilir? (Burada $I$, $A$ kümesi üzerinde tanımlı birim fonksiyondur ve $o$, fonksiyonlardaki bileşke işlemini göstermektedir). 

$\textbf{a)}\ 10 \qquad\textbf{b)}\ 12 \qquad\textbf{c)}\ 21 \qquad\textbf{d)}\ 30 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Answer 1

Soru (daha soyut şekli ile): $S_{10}$ grubundaki bir elemanın mertebesinin en çok kaç olur?

Şunları kullanacağız (Tüm permütasyon gruplarında doğru olan):

1. Her permütasyon ayrık devirlerin (tek şekilde, ama bunu gerek yok) çarpımı olarak yazılabilir. 

2. Her devirin mertebesi uzunluğuna eşittir.

3. Ayrık devirler (birbirleri ile) değişmelidir. 

4. (Her grupta) Değişmeli  iki elemanın çarpımının mertebesi, elemanların mertebelerinin en küçük ortak katından küçük veya eşittir (en küçük ortak katını böler).  Mertebeler aralarında asal ise çarpımın mertebesi mertebelerin çarpımına eşittir.

$f\in S_{10}$ olsun. $f$ yi ayrık devirlerin çarpımı (bileşkesi) olarak yazalım.

$f=f_1\circ f_2\circ \cdots\circ f_n$ ve $m_i\ (i=1,\ldots, n),\ f_i$ nin uzunluğu (ve mertebesi) olsun.

$m_1+m_2+\cdots+m_n\leq10$ (1 uzunluklu devirleri sayarsak eşit) olur. 

$f$ nin mertebesi$\leq m_1m_2\cdots m_n$ ($m_i$ ler ikişer ikişer aralarında asal ise eşit) olacaktır.

Biraz deneme ile $m_1=2,\ m_2=3,\ m_3=5$  için maksimum mertebe (30) elde edilir.

(Örneğin: $f=(1,2)(3,4,5)(6,7,8,9,10)$ için)

Comments

Asagidaki ornekler icin 36 elde edilebiliyor ama birsey mi kaciriyorum..  

$f=(1,2,3,4)(5,6,7)(8,9,10)$

$f=(1,2,3)(4,5,6)(7,8)(9,10)$

---

Bu örneklerde devirlerin uzunlukları aralarında asal değil.  Mertebeler aralarında asal değilse çarpılmıyor (değişmeli iki elemanın) çarpımın mertebesi en fazla çarpanların mertebelerinin ekok u kadar olabiliyor (ispatı kolay). 

Bu permütasyonların birincisinin mertebesi 12, ikincisinin mertebesi 6.