(a,b,c) ilkel pisagor üçlüsünde a yada b' den birinin 3'ün katı oluşunu nasıl gösterebiliriz?

Question

(a,b,c) ilkel pisagor üçlüsü ve c hipotenüs uzunluğu olmak üzere a yada b' den birisi tek ise diğeri çift sayıdır. Bu argümanı kullanarak a yada b' nin 3' ün bir katı olduğunu nasıl gösterebiliriz?

3' ün katı olmaması durumunu ele almaya çalıştım.

Bu noktada nasıl bir çelişki elde edebilirim? Yada başka ne şekilde gösterebilirim?

Comments

Ikisinin de olmadigini kabul edip $$1^2\equiv 2^2\equiv 1\mod 3$$ bilgisini kullanabilirsin.

---

c ile hiponetüs uzunluğunun gösterildiğini de soruda belirtmek gerekiyor.

---

Hipotenüs uzunluğunun da mı olmadığını kabul edeceğiz?

---

c nin hipotenüs uzunluğu olduğu artık soruda belirtilmiş. Şimdi a ve b sayılarının, 3 ün tam katı olmadığını kabul edip bir çelişki yakalayalım. $a,b \equiv 1,2 \pmod 3$ olur. Kare alırsak $a^2,b^2 \equiv 1 \pmod 3$ elde edilir. Toplamda $c^2=a^2+b^2\equiv 2 \pmod 3$ bulunur. Fakat karesinin 3 ile bölümünden kalanı 2 olan bir tamsayı yoktur. Çelişki! 

Demek ki a ile b den en az biri 3 ün katı olmalıdır. İlkel üçlü verildiğinden bunlardan tam olarak biri 3 ün katıdır.

Answer 1

İlk önce herhangi bir $x$ tam sayısı için karesinin $3$ ile bölümünden elde edilebilen kalanları hesaplayalım.

$$\begin{array}{|c|c|} \hline  x  & x^2 \pmod 3  \\ \hline  0 & 0  \\ \hline  1 & 1    \\  \hline 2 & 1 \\ \hline  \end{array}$$

Yukarıdaki tablodan $x^2$ nin $3$ ile bölümünden $2$ kalanı veremeyeceğini gözlemleyelim. Şimdi dik kenar uzunlukları $a,b$ ve hipotenüsü $c$ olan ilkel Pisagor üçlüsünü göz önüne alalım. $a$ ile $b$ den herhangi birinin $3$ ile bölünebildiğini ispatlamak istiyoruz. Aksini kabul edelim ve ne $a$ ne de $b$ $3$ ile bölünebiliyor olsun. Bu durumda aşağıdaki tabloyu oluşturabiliriz:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline   a & b & c^2 = a^2+b^2 \pmod 3 \\ \hline  1 & 1 & 2  \\ \hline  1 & 2 & 2    \\ \hline 2 & 1 & 2    \\ \hline 2 & 2 & 2   \\ \hline    \end{array}$$

Görüldüğü gibi bütün durumlarda $c^2 \equiv 2 \pmod 3$ olmaktadır. Fakat ilk tabloya göre bir tam karenin $3$ ile bölümünden $2$ kalanı veremeyeceğini biliyoruz. Bir çelişki elde ettik.

Dolayısıyla $a$ ile $b$ den biri $3$ ün tam katı olmalıdır. İspat tamamlanmıştır.