Toplam fark formülleri

Question

cotx+coty=1

Sinx.siny=$\frac{1}{2}$ olduğuna göre x+y toplamı pozitif olarak en az kaç derecedir?

Çarpma işlemi yapıldığı takdirde sin (x+y)=$\frac{1}{2}$ eşitliğine ulaşılıyor.Benim merak ettiğim bu ulaştığımız son eşitlik için bulduğumuz her toplamdan yukarıdaki eşitlikleri elde edebilir miyiz?Örneğin toplamı 150 derece olan  ve Sinx.siny=$\frac{1}{2}$ eşitliğini sağlayan bir x,y ikilisi var mıdır?

Comments

$x+y=150\Rightarrow y=150-x$ den ve $sinx.sin(150-x)=\frac 12$ 

$sinx(sin150 cosx-sinx.cos150)=\frac 12$

$\frac 12sinx.cosx+\frac{\sqrt3}{2}sin^2x=\frac 12$

$sinx.\sqrt{1-sin^2x}+\sqrt3sin^2x=1$

$sin^2x-sin^4x=1-2\sqrt3sin^2x+3sin^4x$

$4sin^4x-(1+2\sqrt3)sin^2x+1=0$ denklemi $sin^2x=a$ denilerek çözülebilir. 

Answer 1

Gerekli duzenlemeler sorudaki belirtildigi gibi yapilirsa

$$\sin(x+y)=\frac12$$ oldugu gozukur.

$x+y=30$ oldugunu varsayalim ve $z := x-y$ olarak tanimlayalim. Bu durumda 

$$2\sin x\sin y=\cos z -\cos30$$ esitligi bize $$\cos z=1+\frac{\sqrt{3}}{2}>1$$ oldugunu verir ve celiski elde ederiz.

$x+y=150$ oldugunu varsayalim ve $z := x-y$ olarak tanimlayalim. Bu durumda 

$$2\sin x\sin y=\cos z -\cos150$$ esitligi bize $$\cos z=1-\frac{\sqrt{3}}{2}\in (0,1)$$ oldugunu verir. Dolayisiyla bir $z$ degeri bulabiliriz. Bu buldugumuz $z$ degeri icin $$x=\frac{150+z}{2} \ \ \ \text{ ve } \ \ \ y=\frac{150-z}{2}$$ olur.