$2^{x}-1$ ve $2^{y}-1$ sayılarının OBEB'inin $2^{(x,y)}-1$ olduğunu kanıtlayınız

Question

$\displaystyle\left(2^{x}-1, 2^{y}-1\right) =\displaystyle2^{(x,y)}-1$ olduğunu kanıtlayınız

$2^{x}-1$ ve, $2^{y}-1$ sayılarının OBEB'i Bu sayıların farkı ve toplamınıda böler deyip gerekli işlemler yapılınca OBEB Hakkında bazı bilgiler ediniliyor ancak bu OBEB'i bulmak için yeterli değil. kanıt hakkında yardımcı olur musunuz?

Comments

$2^{-x}$ ve $2^{-y}$ doğal sayılar ise $x,y<0$ olması gerekir. Bu durumda $xy>0$ olur. Dolayısıyla $-xy$ negatif bir sayı olur ama o zaman da $2^{-xy}$ doğal sayı olmaz. Acaba ben soruyu yanlış mı anlıyorum?

---

Sanırım böyle olacak quqipeeoiiuroior?

---

hayır aslında 2 üzeri x sayısının bir eksiği olacaktı, y de aynı şekilde. cevapta 2 üzeri x ve y nin OBEB'i sayısının bir eksiği.

---

buda yanlış oldu örnek vererek gideyim.

2 üzeri 3 - 1= 7

2 üzeri 6 - 1 = 63

2 üzeri (3,6) -1 = 7

yani 7 sayısı 7 ve 63 ün en büyük ortak bölenidir.

üsleri burdaki gibi olmalı.

---

1. satirda $(2^x-1,2^y-1)$ obebi anlamina mi geliyor?

$2^{(x,y)}$ burada da x ve y'nin obebi anlaminda mi?

---

kısa olarak böyle gösterilebiliyor. köşeli parantez de EKOK yerine kullanılıyor.

---

Soru için şöyle bir şey kullanabiliriz, $x=nk$ olsun $2^n-1 | 2^x-1$ diyebiliyoruz.


veya


$2^a-1\equiv 2^{a-b}-1\pmod{2^b-1}$

---

$\dfrac {x} {y}$=$N$

Bu oranin dogal sayi$(N)$ olmasi durumunda 1 olmayan obeb bulunabiliyor.Rasyonel sayi$(Q)$ oldugunda obeb 1 cikiyor.

$2^y-1$ ve $2^x-1$'den hangisi daha kucukse obeb onun carpanlarindan biri olacaktir.İki sayida tektir.

$2^x-1$=$(2-1)(2^{x-1}+2^{x-2}+2^{x-3}...2^{2}+2+1)$

$2^y-1$=$(2-1)(2^{y-1}+2^{y-2}+2^{x-3}...2^{2}+2+1)$

$x$=$7$ ve $y$=$4$ için $(2^x-1,2^y-1)$=$1$

$x$=$6$ ve $y$=$3$ için $(2^x-1,2^y-1)$=$t$

 

$t$=$(2^6-1)$=$(2-1)(2^5+2^4+2^3+2^2+2+1)$

$(2^3-1)$=$(2-1)(2^2+2+1)$

$(2^6-1,2^3-1)$=$(2^5+2^4+2^3+2^2+2+1,2^2+2+1)$=$2^2+2+1$=$7$

Analizi daha ogrenemedigimden cozum yapar gibi anlatmaya calistim.

Answer 1

daha genel halde,

                                                             $(n^a - 1,n^b - 1)=n^{(a,b)}-1$

olur. Tabii $a,b,n$ birer pozitif tamsayı. Ancak $n>1$ olsun. Şimdi $(a,b)=d$ olsun. Bu durumda $d|a$ ve $d|b$ olur.

$d|a$ ise $n^d - 1 | n^a-1$ olur. (Bunu da sen kanıtla). Aynı şekilde $n^d - 1 | n^b-1$ olur. Tanım gereği,

                                                               $n^d - 1 | (n^a - 1,n^b - 1)$

olur. Eşitliğin sağlandığını göstermek için bunu tersten de göstermeliyiz. Zira $a|b$ ve $b|a$ olursa $|a|=|b|$ olur.

Şimdi bir $m$ için $n^a \equiv n^b \equiv 1 (mod m)$ olsun. $(m,n)=1$ olduğu bariz. Ayrıca Bezout teoremine göre $au+bv=(a,b)$ olacak şekilde $u,v$ tamsayılar var.

                                                      $n^{au+bv}=n^{(a,b)} \equiv 1 (mod m)$

Demek ki $m | n^d - 1$. Sonuç olarak

                                                           $(n^a - 1,n^b - 1) | n^d - 1$

                                                           $(n^a - 1,n^b - 1)=n^{(a,b)}-1$

Answer 2

Bir başka kanıtı da ben vereyim:

$a,b,n\in\mathbb{N}$ ve $n>1$ olmak üzere, Eğerki

$a=bq+r$ ise

$n^a-1=(n^b-1)(n^{a-b}+n^{a-2b}+ \cdots +n^{a-bq})+n^r+1$ yani

$n^a-1=(n^b-1)Q+n^r+1$ olur. $(a,b)=(b,a-bc)$ eşitliğini kullanırsak

$(n^a-1,n^b-1)=(n^b-1,n^r-1)$ olur. Öklid algoritmasını kullanarak bunu böyle devam ettirdiğimizde

$(n^a-1,n^b-1)=(n^b-1,n^r-1)= \cdots =(n^{(a,b)}-1,n^0-1)=n^{(a,b)}-1$ olur.