2 Daire kesişmeden yan yana geçebilir mi?

Question

$A$ ve $B$ diye $2$ şehrimiz var.

Hızları ne olursa olsun: $2$ araba, $A$ şehrinden $B$ şehrine yola çıkıyorlar. Yol boyunca aralarındaki uzaklık hiçbir zaman $2l$ uzunlugundan daha fazla olmuyor. Ve bu 2 aracın seyehat ettigi yollar birbirinden bağımsızlar. Yani kesişmiyorlar.

Soru:

$A$ şehrindeki $1.$ yoldan ve $B$ şehrindeki $2.$ yoldan yola çıkan daire şekilli, yarıçapları $l$ olan 2 araç birbirine çarpmadan yolun sonuna varabilirler mi?

Edit: Yeni resim ve ek açıklama.
Şöyle de düşünebiliriz:  1. ve 2. yolda 2 araç olsun bu araçların arasında bir ip olsun ve bu ip $2l$ den kısa olsun ve araçlar bu ipi koparmadan bu yollarda hareket edebiliyor olsun.

Comments

Dusuncemde iki yolun her noktasinin birbirine esit uzaklikta olmasi gerektigi konusunu atlamisim----Bu yolu bir kurenin uzerinde cizebiliriz ve bu araclarda kurenin yuzeyine teget daireler olarak hareket eder.Eger 1 yolun kurenin merkezine gore simetrisi kendisi ile cakismadan kure uzerine koyulursa carpmadan yol sonuna gelebilirler.

---

iki yolun her noktası birbirine eşit uzaklıkta degil, iki yolun üstündeki 2 nokta 2l uzaklıgını aşmadan yollar üzerinde seyehat edebiliyor. Yani her nokta için degil bazı noktaların belli zamanlardaki durumu için.

Hatta şöyle düşünelim, 1 ve 2. yolda 2 araç olsun bu araçların arasında ip olsun bu ip $2l$ den kısa olsun ve araçlar bu ipi koparmadan bu yollarda hareket edebiliyor olsun.

---

O zaman yorumundaki kurenin yaricapi $l$ den kisa diye eklersem cevabi bulmus olur muyum? :-) ya da cevaplardan birini. 

---

anladıgım kadarıyla dogru cevap degil cunkü, cemberin bir kısmı 1. yol obur kısmı 2. yol olursa ve cemberın çapı $2l$ den kısa olmalı dolayısıyla bu dairesel araçlar bu çember yoldan geçemez çünkü yarıçapları toplamı $2l$ olacak .

---

Eğer yanlış anlamışsam, yazdıgın cevabı biraz daha açar mısın ve belki şekiller çizmen daha açıklayıcı da olabilir.

---

Hocam bir cevabi var mi bu sorunun? Kolaya kacip hemen cevabi ogrenmek istedigimden degil.Baslangic noktasi ayni olmasi teget olmadan nasil olacak hicbir model olusturamiyorum kafamda.

---

evet güzel bir cevabı var, ama gene de ne anlatmak istedigini ben anlamadım, çizim için geogebra veya paint bile kullanabilirsin.

---

MAVI VE SARI OLAN ARACLAR

---

Sadece kirmizi ve mor kesitli olan kure parcasinin yuzeyine yol cizilebilir bu sekilde birbirlerine degmeden hareket edebilirler.Ama ayni noktada baslama kismini hala cozemedim.

---

Hocam ilk soruyu yazdiginizda yollarin birbiri ile kesismedigini yazmissiniz sonrasinda eklediginiz yolda $A$ ve $B$ noktalari her iki yol icin ortak yapmissiniz.Kesisimin tanimini yanlis bilmiyorumdur umarim. :-D

---

şu kesitli küre dedigin şeyle ne demek istedigini anlamadım cidden, belki başka bir forum üyesi/uzmanı yardım edebilir.

1 ve 2. yolun A ve B de birleşmesi kesişme demek degil. (sanırım) zaten 2. şekili daha iyi anlatabilmek için çizmiştim. Normal olarak 1. şekil yetiyor.

---

Hocam cevabi aciklamanizi beklemekten baska carem yok.Kure ile yaptigim cozumun dogru oldugunu dusunuyorum ama anlatamiyorum.Resim boyutu $2mb$ tan daha buyuk oldugundan cizerekte gonderemiyorum.

Answer 1

Başka çözümler elbet vardır. Bu cevapta olaya faz uzayı mantıgıyla yaklaşalım. (ismi yanıltmasın)

Faz uzayımız $F=\{(x_1,x_2)| \; 0\le x_i \le 1\}$ olsun yani $1$ kenar uzunluguna sahip bir karenin içindeki her nokta. $x_1$ ve $x_2$ ise 1. ve 2. yollardaki koordinatları versin bu koordinatların değerinin $0$ ve $1$ arasında olması aşağıdaki tanımda açıklanacaktır.


Tanım 1:  Eğer $x_i$, $i$'ninci yoldaki koordinatsa bu koordinat aslında şu demektir. O yoldaki bulunan noktadan $A$ şehrine olan uzaklığın, tüm yolun uzaklıgına oranı. Yani aslında bu koordinat, o yolda $A$ dan yüzde kaç uzaklaşıldığını belirtir.

Yukarıdaki tanım ve faz uzayına göre, herhangi 2 araba için şartlar sağlandıgında bu 2 arabanın seyehat edecegi her ihtimal bu faz uzayında bir nokta belirtir (yani 1. kordinat ($x_1$), 1. yoldaki araba için 2. kordinat ($x_2$ ), 2. yoldaki araba için kordinatı belirtiyor.)

Faz uzayının diagramı:

Arabalar aralarındaki $2l$den kısa ipi koparmadan bu 2 yolda hareket ediyor ve faz uzayında $(0,0)$'dan başlayıp hangi yolu izlerlerse izlesinler  $(1,1)$'de bitiriyorlar seyehatlerini. Çünkü 2 arabanın da başlangıçta $A$ ya uzaklıkları $0$ ve en sonda ise $1$ oluyor.

Daire şekiller ise en başta, ikinci daire $2.$ yolda $A$ ya en uzak noktada yani $B$ de yani koordinatı $1$, $1$. daire ise $A$ da yani koordinatı $0$ Dolayısıyla bu iki dairenin faz uzayındaki başlangıç koordinatı $(0,1)$ ve bitiş noktası ise $(1,0)$

Bu yol kombinasyonlarından birtanesini gösteren diagram:

Sonuç

Görüldüğü üzere yollar ne olursa olsun, bu 2 eğri her ihtimalde kesişiyor. 

Bu eğrilerin kesişmesi demek, daire şekiller ve arabaların kordinatlarının kesişmesi demek ve dolayısıyla o noktada dairelerin birbirine çarpması demek çünkü arabalar her zaman birbirine $2l$'den daha yakın olmak zorundaydı.